VI. Dynamik der Drehung
eines starren Körpers
Versuch VI.1: Drehendes Rad
Versuch VI.10: Überkopfkreisel
Versuch VI.11: Kreiselkompass
Versuch VI.12: Kardanisch aufgehängter Kreisel
Versuch VI.13: Kugelkreisel auf Luftkissen
Versuch VI.14: Präzession einer Fahrradfelge
Versuch VI.16: Hauptträgheitsachsen einer Zigarrenkiste
Versuch VI.18: Foucaultscher Pendelversuch
Für einen ausgedehnten Körper braucht man eigentlich unendlich viele Ortsvektoren- einen für jeden seiner Punkte.
Zum Glück können sich diese Vektoren nicht alle unabhängig voneinander ändern, selbst dann nicht, wenn der Körper deformierbar ist. Diesen Fall behandeln wir in Kapitel VII. Wenn der Körper nicht deformierbar ist, sondern starr, kann man jede seiner Bewegungen in eine Translation und eine Rotation zerlegen.
Eine Translation ist eine Bewegung, bei der alle Punkte des Körpers kongruente Bahnen beschreiben. Diese Bahnen dürfen durchaus gekrümmt sein.
Die Richtung der Körperachsen dieser Tauben, die eine reine Translation ausführen, bleibt erhalten.
Bei einer Rotation beschreiben alle Punkte konzentrische Kreise um eine bestimmte Gerade, die Drehachse.
Diese Tauben führen eine Translation kombiniert mit einer Rotation aus.
Die Körperachsen ändern ihre Richtung.
Die Gesetze der Translation eines starren Körpers unterscheiden sich nicht von denen, die wir vom Massenpunkt her kennen. Für die Rotation müssen wir einen neuen Satz von Begriffen entwickeln.
Wie wichtig grade die Rotation starrer Körper ist, haben wir bereits an einigen Beispielen zur Gravitation gesehen:
Besonders die Eigenrotation von Körpern ist in der Natur besonders wichtig. Als Beispiel betrachte man die Erde und die bereits diskutierten Auswirkungen der Rotation
Auch andere Himmelskörper drehen sich um eine eigene Achse. Das liegt an in der Entstehung der Planeten und der Erhaltung der Drehimpulse begründet. Das wohl populärste Beispiel ist die Sonne
Extreme Beispiele sind die sogenannten Pulsare. Sie emittieren - wie Leuchtfeuer - gerichtete, gepulste Strahlung. Junge Pulsare haben eine Frequenz von 30 Hz, d.h., sie drehen sich 30 mal pro Sekunde um die eigene Achse. Alte Pulsare haben 'nur' noch 1 Hz. Die Masse entspricht der Masse von Sterne, Pulsare sind aber sehr klein; sie haben einen Durchmesser von nur 1 - 10 km. Sie entstehen nach Supernova-Explosionen (Neutronensterne). Große Sterne würden bei dieser Eigenrotationsfrequenz auseinanderfliegen.
Erste Meßprotokolle von Radiosignalen der Pulsare CP 1919 und CP 0950 (1967). Die sehr schwachen Signale schwanken durch den Einfluß interstellarer Wolken geladener Teilchen in ihrer Intensität. Trotzdem ist der konstante Pulsabstand der Signale deutlich zu erkennen, der für CP 1919 etwa 1,3 sec, für CP 0950 etwa 0,25 sec beträgt. (Aus Scientific American 219, 1968)
Winkelgeschwindigkeit als axialer Vektor
Uns ist bereits bekannt, daß sowohl der Ort, als auch die Geschwindigkeit von einer Richtung abhängen, also Vektoren sind. Nun muß man sich fragen, ob auch die Winkelgeschwindigkeit als Vektor behandelt werden muß. Um diese Frage zu klären, soll ein einfacher Versuch durchgeführt werden:
Bei diesem Versuch wird eine Testperson auf einen frei drehbaren Schemel gesetzt. In der Hand hält sie eine Achse, an deren Ende ein Rad mit Speichen montiert ist. Mit einer Bohrmaschine wird nun das Rad zu einer Rotation angetrieben, während die Achse parallel zum Boden ausgerichtet ist..
Zunächst hält die Person das Rad senkrecht nach oben, d.h. mit der Achse parallel zum Oberkörper. Das Rad dreht sich weiter, die Person beginnt jedoch, sich auf dem Schemel entgegen der Drehrichtung des Rades zu drehen.
Danach wird das Rad gesenkt, bis die Achse parallel zum Boden steht. Der Schemel hält an und dreht sich nicht weiter.
Wird das Rad nach unten gehalten, dreht der Schemel sich wieder, nun entgegengesetzt zum ersten mal. Rad und Schemel drehen sich also wieder entgegengesetzt.
Offensichtlich ist die Richtung eine wichtige Größe bei der Betrachtung der Rotation: Die Winkelgeschwindigkeit muß also ebenfalls als Vektor eingeführt werden.
Dabei muß einmal eine Konvention gefunden werden, in welche Richtung die Winkelgeschwindigkeit positiv definiert wird. Man einigte sich hier darauf, daß die Drehrichtung und der Vektor der Winkelgeschwindigkeit eine Rechtsschraube bilden:
Um den Zusammenhang zwischen , und zu bestimmen, betrachten wir noch einmal die bereits in Kapitel V gewonnenen Erkenntnisse über Kreisbewegungen:
Beschreibt ein Massenpunkt bei einer Drehung einen Kreis mit dem Radius , so hat der Vektor der Winkelgeschwindigkeit die Richtung der Normalen zur Kreisbahnebene mit der Pfeilspitze so, daß sich eine Rechtsschraube ergibt. Ist der Ortsvektor des Massenpunktes von 0 aus, so gilt :
Damit kann das Vektorprodukt in vektorieller Form angegeben werden:
.
Der Betrag ist, wie oben errechnet
Der Geschwindigkeitsvektor steht senkrecht auf der durch und gebildeten Ebene.
Man beachte, daß beim Vektorprodukt die Faktoren nicht vertauscht werden dürfen; denn es ist:
Es ist natürlich nur dann sinnvoll, eine Größe als Vektor einzuführen, wenn für sie die Gesetze der Vektorrechnung gelten. Insbesondere muß man zwei derartige Größen vektoriell addieren können. Das ist bei der Winkelgeschwindigkeit der Fall, wie folgende Überlegung zeigt :
Erfährt ein Massenpunkt, der die Masse m und den Ortsvektor hat, gleichzeitig zwei Winkelgeschwindigkeiten und , so ist:
und
Da
ist, folgt :
und daraus
und aus
schließlich:
Ähnlich kann man auch die Richtigkeit der andern Rechenregeln für Vektoren nachweisen. Daß solche Überlegungen notwendig sind, zeigt folgender Sachverhalt :
Man könnte daran denken, auch den Drehwinkel als axialen Vektor einzuführen. Das ist aber nicht sinnvoll, da sich zwei Drehungen um die Winkel und um beliebige Achsen nicht vektoriell addieren. Die Zusammensetzung zweier solcher Drehungen um endliche Winkel ist komplizierter. Nur bei Drehungen um die gleiche feste Achse kann man die Drehwinkel addieren.
Beweis:
Dies ergibt sich aus
Wenn man schreibt
Die Verhältnisse liegen ähnlich wie beim Weg. Nur der geradlinige Weg ist ein Vektor, entsprechend gilt dies für den Drehwinkel um eine feste Achse. Im Fall eines beliebigen krummen Wegs kann man nur unendlich kleine Wegelemente addieren :
ebenso wie bei beliebigen Drehachsen nur unendlich kleine Drehwinkel.
Anschaulich ist einleuchtend, warum nur sehr kleine Drehwinkel sich einfach addieren lassen, größere hingegen nicht, wenn die Achsen nicht parallel sind:
Das Ergebnis der Drehungen hängt von der Reihenfolge der Drehungen ab, diese sind nicht kommutativ. Das liegt daran, daß wir von körpereigenen Drehachsen sprechen. Die erste Drehung ändert selbst die Lage der zweiten Drehachse.
Anschaulich kann man die Änderung der Drehachsen mit der Drehung und das unterschiedliche Ergebnis nach einander ausgeführter Drehungen um 90° an einem Buch betrachten:
Unentbehrlich für das Verständnis dieses Kapitels ist die Sicherheit im Umgang mit dem Kreuz- bzw. Vektorprodukt. Deshalb werden noch einmal seine wichtigsten Eigenschaften und Rechenregeln zusammengestellt.
Die Definition des Vektorproduktes hatten wir so angegeben:
Mit der Konvention über dir Richtung ist gilt diese Gleichung, wenn
auf dem kürzesten Weg in überführt wird
und für den dadurch gegebenen Drehsinn die Richtung einer Rechtsschraube bekommt.
Da bei Vertauschung von und im Sinne dieser Definition der Drehsinn umgekehrt wird, muß gelten:
Das Kommutativ-Gesetz gilt nicht !
Stellt man die Vektorgrößen als Pfeile dar, dann entspricht der Betrag des Vektorproduktes dem Flächeninhalt des von beiden Pfeilen aufgespannten Parallelogramms.
Es gilt:
Diese komponentenweise Darstellung kann auch im kompakter Form als Determinante geschrieben werden, wobei
denn es gilt die Regel
Alles weitere (z.B. Differentation von Vektoren) in Standardbüchern über die mathematischen Hilfsmittel des Physikers.