Um das Grundgesetz der Mechanik übertragen zu können, fehlt uns nur noch ein Analogon zur Masse. Diese Übertragung der Masse wird Trägheitsmoment genannt. Wie kann man aus dem bisher bekannten eine mathematische Beschreibung des Trägheitsmomentes entwickeln?

Betrachten wir wieder ein einfaches Beispiel:

Ein einfacher Fall eines rotierenden starren Körpers ist eine rotierende Platte, deren Ebene senkrecht zur Rotationsachse ist. Die Platte bestehe aus diskreten Massenpunkten m_i, die starr miteinander verbunden sind. Dann ergibt sich für die Rotationsenergie E_R, also die kinetische Energie der Massepunkte m_i:

Für eine Masse m_i

für alle N Massen folgt

In einem starren Körper haben alle Massepunkte dieselbe Winkelgeschwindigkeit .

Also gilt mit

Û

mit w = const.

Û

Vergleichen wir diese Formel mit der Ausgangsformel für die kinetische Energie:

v² m

Die bereits bekannte Analogie Ü zeigt, daß die Ausdrücke identisch sind, wenn

m = ist.

Nun kann man das Trägheitsmoment definieren:

Definition VI.2: Das Trägheitsmoment eines starren Körpers mit diskreter Massenverteilung bezüglich einer zur Ebenen senkrechten Drehachse wird definiert als   , wobei der Abstand des Massepunktesvon der Drehachse ist.

Man hätte auch argumentieren können, daß eine rein geometrische Größe ist, eine Eigenschaft starrer Körper. Dann definiert man eine Abkürzung

Die Rotationsenergie berechnet sich damit als

Rotationsenergie

analog zur Translationsenergie

.

Merke: Die Rotationsenergie berechnet sich alsanalog zur Translationsenergie .

Diese Formel gilt für alle Körper, solange senkrecht auf der Drehachse steht.

Mit dieser Definition kann man nun alle Größen von der Translation auf die Rotation übertragen.

Nun fehlt nur noch der Übertrag dieses Ergebnisses auf kontinuierliche Massenverteilung, also die Summation über infinitisimale Massestücke.

Dementsprechend gilt bei Übergang zur Integration mit dem Abstand r von der Drehachse:

mit der Dichte

Þ

I_z ist das Trägheitsmoment in Bezug auf die Drehachse z.

Definition VI.3: Das Trägheitsmoment eines starren Körpers mit kontinuierlicher Massenverteilung bezüglich einer zur Ebenen senkrechten Drehachse z wird definiert als , wobei der Abstand des Massepunktesvon der Drehachse ist.

Damit läßt sich das Grundgesetz der Mechanik auch auf die Rotation übertragen. Dazu sollen die Größen Drehimpuls und Drehmoment mit den Variablen Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung und Trägheitsmoment geschrieben werden. Zunächst berechnen wir den Drehimpuls:

mit p_i = m_i v_i

Þ

und mit r_i ^ v_i

Þ

mit = Einheitsvektor in Richtung

mit

Þ

Þ

falls auf der Drehachse steht, wie in unserem Beispiel angenommen wurde.

Damit gilt für den Gesamtdrehimpuls

Û .

Merke: Der Drehimpuls läßt sich analog zum Impuls darstellen als

Eine analoge Berechnung zeigt, daß aus dem Drehmoment

mit

und

Þ ,

mit

Þ folgt.

Merke: Das Drehmoment läßt sich analog zur Kraft darstellen als .