Die einfachste Figur, deren Schwerpunkt schon in der Mittelstufe berechnet wurde, ist ein Dreieck.

Versuch VI.2: Schwerpunkt eines Dreiecks

Um den Schwerpunkt einer dreieckigen Platte zu ermitteln, kann man sie nacheinander frei beweglich an den drei Ecken aufhängen und jeweils einen Faden vom Eckpunkt aus senkrecht hinunter hängen lassen. Der Verlauf des Fadens wird markiert. Diese drei Graden schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt.

Aus der Geometrie ist bekannt, daß die aufgezeichneten Graden die Seitenhalbierenden, auch Schwerlinien genannt, des Dreiecks sind. Unterstützt man diese Schwerlinien, so balanciert der Körper auf einem Stab. Unterstützt man die Scheibe im Schwerpunkt, so balanciert sie auf einem Punkt. Analog kann man für beliebige (flache) Körper verfahren.

Wie berechnet man nun den Schwerpunkt eines beliebigen, ausgedehnten Körpers ?

Bei zwei Massepunkten A und B gleicher Masse ist sofort einsichtig, daß der Schwerpunkt auf der Verbindungsgraden genau in der Mitte der Strecke von A nach B liegt. Bei zwei Massepunkten A und B verschiedener Massen liegt der Schwerpunkt ebenfalls auf der Verbindungslinie, jedoch näher an der schwereren Masse. Diese Überlegung haben wir schon bei der Betrachtung des Erde- Mond- Systems genutzt. Man kann leicht nachvollziehen, daß der Schwerpunkt die Verbindungslinie im umgekehrten Verhältnis der Massen teilt.

.

Betrachtet man noch die Ortsvektoren von einem beliebigen Nullpunkt zu den Massen, dann kann man aus der Abbildung die Beziehung ablesen:

Û .

Nimmt man nun mit derselben Überlegung einen dritten, vierten ... bis n-ten Körper hinzu, erhält man als Formel für den Schwerpunkt :

Û

Im karthesischen Koordinatensystem hat der Schwerpunkt die Koordinaten

, , .

Für kontinuierliche Masseverteilungen muß über infinitisimal kleine Massen integriert werden. Mit der Gesamtmasse M berechnet sich der Schwerpunkt

.

Mit der Dichte

Þ .

Mit diesem Ergebnis können wir den Schwerpunktsatz formulieren:

Schwerpunktsatz: Der Massenschwerpunkt eines Systems von Massen mi bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse M im Schwerpunkt S vereinigt wäre und dort die Summe aller äußeren Kräfte angreifen würde.

Der Spezialfall kam schon beim Impulssatz vor: Wirken nur innere Kräfte, so bewegt sich der Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) mit konstanter Geschwindigkeit auf gerader Linie, für ihn gilt also das Trägheitsgesetz.

Im Folgenden wollen wir den Schwerpunktsatz anhand eines Beispiels verfizieren:

Eine Hantel mit masseloser Stange fliege durch die Luft.

Zunächst wirken auf die beiden Massen der Hantel, m₁ und m₂, die Gewichtskräfte

Dabei seien die Kugeln idealisiert als Massepunkte in den einzelnen Schwerpunkten.

Die Richtung der Verbindungstange sei . Durch die Stange gehalten, wirken auf die Massen die Zwangskräfte der Stange .

Aus der Formel für den Schwerpunkt des Hantelsystems:

mit M = m₁ + m₂

Durch Differentation nach der Zeit erhalten wir den Ausdruck für die Gesamtkraft, denn

aus folgt

M_s = m_{1 1} + m_{2 2} ¬

Für jede einzelne Kugel gilt das Grundgesetz der Mechanik: Die Summe der wirkenden Kräfte und ist gleich der Kraft

eingesetzt in ¬

Þ M_s =

Das Reaktionsprinzip besagt

­

Þ M_s =

Û

Die Verallgemeinerung für 3 Dimensionen lautet dann

Das Reaktionsprinzip gilt auch, wenn keine starre Verbindung vorliegt. Als Verbindung könnte z.B. eine Feder fungieren. x₁ und x₂ wären dann zeitabhängig.

Bei der Abwesenheit von äußeren Kräften bewegt sich der Massenschwerpunkt gradlinig und gleichförmig. Ein Massensystem oder ein Körper kann sich dann nur um Achsen drehen, die durch seinen Schwerpunkt gehen. Das gilt auch noch, wenn der Körper sich in einem homogenen Kraftfeld befindet. Es gilt nicht mehr, wenn der Körper an beliebiger Stelle fest gelagert wird und damit die Drehachse im Raum festgehalten wird. Es gilt nur für freie Achsen.