Definition V.6:

Das Drehmoment war die Übertragung des Kraftbegriffes auf die Rotation. Nun wollen wir dieses Drehmoment für starre Körper genauer untersuchen. Dazu zunächst ein Versuch:

Versuch VI.3: Fadenrolle

Bei diesem Versuch wird eine überdimensionale Garnrolle an einem Fadenende gezogen. Die Beobachtung zeigt: Je nach Winkel, unter dem an der Rolle gezogen wird, rollt die Rolle nach vorne, nach hinten oder sie bleibt in Ruhe.

Dieses Phänomen kann man sich so erklären, daß das Drehmoment am Auflagepunkt P angreift, nicht am Schwerpunkt. Die Rolle dreht sich also um den Auflagepunkt. Nach dieser Beobachtung müssen wir uns fragen, wie man eine solche Bewegung mathematisch günstig beschreiben kann. Anders ausgedrückt: Es geht um die Festlegung der momentanen Drehachse.

Um diese Bewegung zu beschreiben müßte das Kräftegesetz für diesen Punkt gefunden werden. Das ist nicht so ohne weiteres aufzustellen, wir wollen deshalb versuchen, eine günstigere Beschreibung zu finden:

Um die zweite Möglichkeit zu finden, betrachten wir den Versuch in etwas abgewandelter Form noch einmal. Statt selbst an der Rolle zu ziehen, legen wir sie auf eine schiefe Ebene. Jetzt kennen wir ein genaues Kraftgesetz für die äußere Kraft. Die Kräfte, die wirken, können wir aufschreiben:

Für die Bewegung längs einer schiefen Ebene wirkt die Komponente der Gewichtskraft

Die zweite wirkende Kraft erhält man aus folgender Überlegung: Der Zylinder rollt nur deswegen die Ebene hinunter statt zu rutschen, weil eine Haftreibung wirkt. Ohne die Haftreibung würde er abrutschen. Wir nennen die Reibungskraft , sie wirkt entgegengesetzt der Komponente der Gewichtskraft.

Jetzt zerlegen wir die Kraft F in zwei Komponenten. Die erste Komponente längs des Vektors , die denselben Betrag hat, wie die Reibungskraft , dieser aber entgegen gerichtet ist, bezeichnen wir mit . Betragsmäßig gilt dann

Der Rest des Vektors wird nicht kompensiert, bewirkt also nach Newton eine Beschleunigung. Wir bezeichen diesen Rest mit , sein Betrag errechnet sich aus

.

setzt sich somit zusammen aus einer Beschleunigungskraft und einer Gegenkraft zur Reibung, die zusammen mit ein Kräftepaar bildet.

Insgesamt haben wir die Kräfte zerlegt in ein Kräftepaar und eine resultierende Kraft am Schwerpunkt !

Dabei ist ein Kräftepaar definiert als :

Dabei haben wir von der Verschiebung der einzelnen Kräfte Gebrauch gemacht: Zunächst verschiebt man die 'Restkraft' , die eine Beschleunigung des Körpers im Newton'schen Sinn hervorruft, in den Schwerpunkt. Das ist aufgrund des Schwerpunktsatz erlaubt. Dann verschieben wir das Kräftepaar so, daß die Mitte der Verbindungsgraden auf dem Schwerpunkt liegt.

Das Kräftepaar greift jetzt symmetrisch zum Schwerpunkt an. Die Bewegung des Zylinders wird in dieser Darstellung beschrieben, ohne daß formal am Auflagepunkt eine Kraft angesetzt wird.

Das Kräftepaar bewirkt eine Rotation, also ein Drehmoment, während die 'Restkraft' eine Translation des Schwerpunkts bewirkt.

Nun wollen wir das Drehmoment für einen beliebigen Bezugspunkt 0 eines beliebigen Körpers berechnen. Dazu sollen zwei Punkte P₁ und P₂ betrachtet werden, an denen die Kräfte und angreifen. Die beiden Kräfte erfüllen die Bedingungen für ein Kräftepaar. Das Drehmoment um Punkt P₁ beträgt nach der allgemeinen Definition

analog für P₂

Þ

P>Für die Beträge gilt dann

Die geometrische Betrachtung zeigt, daß die Beziehung a_i = r_i × sin(r_i , F_i) gilt. Damit folgt

mit F₁ = - F₂

mit a₁ - a₂ = l

Der Betrag des Drehmoments hängt also nur vom senkrechten Abstand der Punkte und vom Kräftepaar ab.

Zu jedem Kräftepaar undgehört ein Drehmoment t mit .ist dabei der Verbindungsvektor der Angriffspunkte von und.

Für die Rechnung mit Kräftepaaren heißt dieses Ergebnis, daß man das Kräftepaar für die jeweilige Bewegung geschickt verschieben kann, z.B. in den Schwerpunkt der oben berechneten Rolle.

Damit ist der vorangestellte Satz bewiesen: