Wichtig bei der Berechnung eines Trägheitsmomentes ist zunächst die Symmetrieüberlegung. Wenn man die Koordinaten geschickt wählt und kleine Volumenelemente so definiert, daß man ihren Inhalt leicht berechnen und danach über alle Elemente summieren kann, spart man viel Zeit und Arbeit. Suchen wir also 'geschickte' Koordinaten:

Der erste Versuch gilt den bekannten karthesischen Koordinaten. Nach der Formel für das Trägheitsmoment

Der Zylinder habe die Dicke, bzw. Länge l und den Radius R. Nun muß das Integral über das Volumen

Dieser Ansatz sieht kompliziert aus. Deshalb versuchen wir einen neuen Ansatz mit Zylinderkoordinaten. Dazu betrachten wir einen infinitisimal dünnen Hohlzylinder mit dem Radius r und der Dicke dr. Jetzt kann das Volumen direkt angegeben werden als Produkt aus Grundfläche r^2p und Höhe des Zylinders l . Damit gilt

Volumen

mit

Aus

Þ I

Mit V = R^2p × l

Þ .

Das ist die Formel für das Trägheitsmoment eines Zylinders des Radius R und des Volumens V.

Merke: Das Trägheitsmoment eines Vollzylinders beträgt

Wenn man nun zwei Zylinder derselben Masse eine schiefe Ebene herunter rollen lassen, müßten diese dieselbe Bewegung ausführen, wenn sie dasselbe Volumen und denselben Radius haben. Dieses Ergebnis betrachten wir bei einem Experiment:

Versuch VI.7: Zwei 'identische' Zylinder

Hierfür benötigen wir das Trägheitsmoment . Mit einer analogen Rechnung folgt dann für das Trägheitsmoment des Hohlzylinders:

Genauer

I_H = (R_a² + r_i²)

Trägheitsmoment des Vollzylinders:

I_V =

Für die Kräfte, die auf rollende Zylinder wirken, gilt nach Kapitel VI.2:

Kraft zur Beschleunigung

mit

mit

und

Û

Û

Û ¬

In ¬

Þ M = R × f = I_Z

mit I_Z = Trägheitsmoment um Symmetrieachse

Der Vergleich mit Ê führt zu dem Ergebnis

Einsetzen der Trägheitsmomente für Vollzylinder und Hohlzylinder ergibt:

Vollzylinder: a = g sinj

Hohlzylinder: a = g sinj

Der Vollzylinder hat die größere Beschleunigung und rollt deshalb schneller.

Merke: Das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders beträgt IH = (Ra2 + ri2).

Ein anderes Beispiel für die Berechnung einer Rotationsbewegung mit Hilfe des Trägheitsmomentes ist die Maxwellsche Scheibe:

Die Maxwellsche Scheibe ist aufgebaut wie ein Jojo mit einer inneren Scheibe, auf der ein Faden aufgerollt ist und einer äußeren Scheibe. Läßt man das Jojo fallen, während man den Faden festhält, wirken Erdanziehung und Fadenspannkraft. Der Schwerpunkt des Jojos, an dem die Anziehungskraft der Erde angreift, liegt im Mittelpunkt der beiden konzentrischen Scheiben. Der Punkt, an dem die Kraft über den Faden angreift, liegt jedoch auf einem Punkt der inneren Scheibe. Die beiden Kräfte lassen sich wieder zerlegen in eine Restkraft und ein Kräftepaar. Das Jojo rotiert und läuft dabei nach unten. Ist der Faden jedoch ganz abgewickelt, läuft das Jojo wieder bis zum Ausgangspunkt hinauf. Die durch Heben des Jojos geschaffene potentielle Energie wird während des Vorgangs u.a. in Rotationsenergie umgewandelt. Offensichtlich wirkt die Energieerhaltung auch bei der Umwandlung von potentieller Energie in Rotationsenergie. Am untersten Punkt muß zudem die Drehimpulserhaltung das 'Aufwickeln' des Fadens auf dem Weg nach oben bewirken. Diese Prinzipien wollen wir nun mathematisch zusammenfassen, um die Beschleunigung zu berechnen, mit der die Scheibe nach unten läuft.

Die Fadenkraft greift an einem Punkt, der um den kleinen Radius vom Schwerpunkt entfernt liegt, senkrecht nach oben an.

Die Erdanziehungskraft greift im Schwerpunkt senkrecht nach unten an.

Die Resultierende der beiden Kräfte ist eine Kraft, die im Newton'schen Sinne eine Beschleunigung verursacht. Es gilt also:

Û . Ê

Die Fadenkraft ist uns leider nicht direkt über eine bekannte Formel zugänglich, wir wissen aber, daß die Fadenkraft ein Drehmoment auf die Scheibe ausübt.

Da die Verbindungslinien senkrecht auf steht, kann mit Beträgen gerechnet werden. Statt können wir das

Drehmoment

¬ benutzen.

Ebenso gilt

. ­

Aus ¬ und ­

Þ

Setzen wir diesen Ausdruck für die Fadenkraft in den Betrag von Ê ein, so folgt

Setzen wir in diese Formel für die Beschleunigung eines Jojos noch das Trägheitsmoment einer Scheibe, bzw. eines Zylinders ein, so folgt

mit I =

Þ

Ist R²/r² also wesentlich größer als 1, so rollt die Scheibe äußerst langsam ab.

Versuch VI.8: Maxwellsche Scheibe an einer Waage

1) Im aufgerollten Zustand des Jojo wird die Waage justiert, indem man in die andere Waagschale Gewichte legt. Das Jojo ist so gewählt, daß der äußere Radius erheblich größer ist als der innere.

2) Läßt man nun das Jojo herunter laufen, so geht die Waagschale mit dem Jojo nach oben; sie zeigt ein kleineres Gewicht als vorher an. Das läßt sich so begründen:

Im Zustand 1) wirkt auf die Schale nur die Anziehungskraft der Erde G = Mg.

Läuft das Jojo, so wirken die oben aufgestellten Kräfte . Der Vergleich der Kräfte zeigt, daß die Kraft im Zustand 2) kleiner ist als die erste. Diese Differenz zeigt die Waage an.

3) Nachdem das Jojo umgeschlagen ist, zeigt die Waage beim Hinauflaufen wieder ein geringeres Gewicht an. Auch hier müssen wieder beide Kräfte von oben betrachtet werden. Diesmal wirkt die Beschleunigung a zwar als Verzögerung nach oben, sie hat aber ein negatives Vorzeichen. Damit wirkt die Resultierende wieder nach unten und die wirkende Kraft wird verringert.