1) Das einfachste Beispiel ist ein Massepunkt, der auf einer Kreisbahn um den Nullpunkt rotiert. Wir hatten festgestellt, daß der Drehimpuls als geschrieben werden kann, d.h. der Drehimpulsvektor ist parallel zum Vektor der Winkelgeschwindigkeit.

2) Betrachten wir dieses Beispiel jetzt für dieselbe Bewegung, jedoch mit einem anderen Nullpunkt. Zur Vereinfachung liege der Nullpunkt auf einer Achse durch den Kreismittelpunkt, der z-Achse. Der Radiusvektor , der Verbindungsvektor des Nullpunktes mit dem Massepunkt, steht jetzt nicht senkrecht auf der Rotationsachse. Dann hat der Drehimpuls wegen

eine Komponente senkrecht zur Drehachse:

Das Problem bei der Berechnung dieser Bewegung ist, für ein Massenelement m_i den zugehörigen Drehimpuls L_i abhängig von der Wahl des Drehpunktes 0 auf der Achse zu bestimmen. Der Nullpunkt muß also für jeden Körper unter Berücksichtigung der Lagerung der Drehachse geeignet gewählt werden.

In unserem Beispiel drehe sich im Raum. Dann muß wegen

ein Drehmoment existieren, das hervorruft.

Das zugehörige Moment um 0 ist

wobei die Zentripetalkraft (z.B. Fadenkraft) bezeichnet.

das Drehmoment hat die Richtung der Bahntangente und damit die Richtung von .

Statt

gilt jetzt:

wobei L_Z und w dieselbe Richtung haben.

3) Ergänzt man die Masse m₁ durch Hinzufügen der Masse m₂ zu einer Hantel, deren Achse senkrecht auf der Drehachse steht, so bekommt man wieder einen rotationssymmetrischen Drehkörper. Jetzt ist

Û () _z = const.

Dieser Ausdruck ist unabhängig von der Wahl des Nullpunktes auf der Drehachse. Damit ist

Diese Berechnung gilt für alle Körper, deren Massenelemente symmetrisch zur Drehachse sind.

Merke: Für alle Körper, deren Massenelemente symmetrisch zur Drehachse sind, gilt:und damit .

4) Nun betrachten wir ein konkretes Beispiel eines unsymmetrischen Drehkörpers mit fixierten Achsen

Eine Hantel liege mit spitzem Winkel Q gegen die Rotationsachse, die geht durch Schwerpunkt der Hantel geht. Durch Zentrifugalkräfte versucht die Hantel, sich senkrecht zur Drehachse zu stellen !

Die Lagerung der Achse muß oben die Kraft und unten die Kraft auf die Achse ausüben, um sie in ihrer Lage zu halten. Dies Kräftepaar ergibt ein Drehmoment um C. Das Drehmoment zeigt in Richtung von vertikal aus der Zeichenebene heraus. Die Kräfte drehen sich mit und verursachen ein "Flattern" oder eine "Unwucht" des Rotationskörpers. Da ~ w ² ist, ist das Auswuchten von Rädern für hohe Fahrgeschwindigkeiten z.B. eines Fahrgestells von Flugzeugen, extrem wichtig.

5) Nun berechnen wir ein Beispiel freier Achsen.

Eine Symmetrieachse definiert für einen Körper ein Hauptträgheitsmoment, wir haben Trägheitsmomente deshalb immer nur bezüglich einer Achse angegeben. Eine Zigarrenkiste z.B. hat 3 Hauptträgheitsmomente. Dreht ein Körper sich um eine beliebige Achse, so ist die Drehung im Allgemeinen nicht stabil. Die bei der Rotation auftretenden Drehmomente sind so, daß nur Drehungen um die Achsen des größten und des kleinsten Drehmomentes stabil sind. Schon kleinste Störungen bringen die Achse des mittleren Trägheitsmomentes aus der Ausgangslage heraus. Die Achse des größten Trägheitsmomentes ist am stabilsten.

Als Voraussetzung legen wir fest, A sei die Hauptträgheitsachse mit dem größtem Trägheitsmoment. Dann gilt allgemein

Wenn, wie in unserem Beispiel angenommen, der Winkel a = 45 ⁰ ist, dann ist der in der Zeichnung schraffiert dargestellte Teil ist symmetrisch.

Das resultierende Drehmoment berechnet sich aus den Massen m_i im unschraffierten Teil, die ein Zentrifugalkraft-Paar erzeugen. Das durch die Zentrifugalkräfte erzeugte Drehmoment wird Devitationsmoment genannt. Eine Drehung erfolgt solange, bis alle Massen symmetrisch verteilt sind. Dann ist A eine stabile Drehachse. Bei einem starren Körper versucht das Devitationsmoment einen Körper so zu drehen, daß er um seine Hauptträgheitsachse rotiert. Ist der Körper nicht frei aufgehängt, wird er durch dieses wirkende Moment verbogen.

Zu diesem Phänomen betrachten wir das Verhalten verschiedener Körper in einem Versuch:

Versuch VI.15: Rotierende Körper und deren Hauptträgheitsachsen

Bei diesem Versuch werden verschiedene Körper mit Fäden an eine vertikal nach unten gerichtete Achse eines Motors gehängt. Über den Motor können die Körper mit verschiedenen Winkelgeschwindigkeiten in Rotation um ihre freien Achsen versetzt werden.

Der erste Körper in unserem Versuch ist ein Ring, der zunächst senkrecht herabhängt. Mit steigender Winkelgeschwindigkeit richtet sich der Ring horizontal auf. Der Ring rotierte also zunächst um die Achse mit dem geringsten Trägheitsmoment, danach um die Achse mit maximalem Trägheitsmoment.

Als zweiten Körper betrachten wir eine Kette, die zunächst glatt herunter hängt. Bei der Rotation weitet sie sich durch die Zentrifugalkräfte zu einem Ring aus und richtet sich dann ebenfalls in die stabilste Lage der Rotation aus. Sie rotiert in horizontaler Lage analog zum Ring.

Als dritten Körper versetzen wir einen Stab in Rotation um seine freien Achsen. Auch dieser Körper dreht sich bei größerer Winkelgeschwindigkeit um seine Hauptträgheitsachse, d.h. er rotiert horizontal zur Erde.

Man kann für jeden beliebigen Körper drei Achsen finden, die durch den Schwerpunkt gehen und für die das Devitationsmoment null ist. Diese Achsen sind dann die oben erwähnten Hauptträgheitsachsen. Wie bereits erläutert, hat ein Körper in der Regel verschiedene Trägheitsmomente durch verschiedene Achsen. Die Achsen, zu denen das größte und das kleinste Trägheitsmoment gehört, sind immer freie Achsen, die dritte Hauptträgheitsachse steht senkrecht auf den beiden. Die Drehung um die Achse mit dem kleinsten Trägheitsmoment und um die Achse mit dem größten Trägheitsmoment ist stabil, die Drehung um die dritte frei Achse ist labil. Diese Tatsache läßt sich leicht an einer Zigarrenkiste verdeutlichen:

Versuch VI.16: Hauptträgheitsachsen der Zigarrenkiste

Um die Haupträgheitsachsen zu verdeutlichen kann ein simpler Versuch genutzt werden: Ein Quader, z.B. eine Zigarrenkiste wird in die Luft geworfen und dabei um verschiedene Achsen gedreht. Beim ersten Wurf versetzt man den Quader in Rotation um die Achse 1 und beobachtet die Richtung der Achse im Raum - sie bleibt erhalten. Dasselbe gilt, wenn man die Kiste mit einer Drehung um die Achse 2 hoch wirft. Versetzt man die Kiste jedoch in Rotation um die Achse mit dem mittleren Trägheitsmoment, Achse 3, so ändert sich die Lage dieser Achse während des Flugs ständig. Die Rotation um diese Achse ist nicht stabil.