In Kapitel IV hatten wir uns mit Schwingungen beschäftigt. Wir hatten festgestellt, daß Schwingungsdauern auf verschiedene Weisen sehr genau gemessen werden können. Ein Beispiel war die Federschwingung. Nun wollen wir die Schwingung betrachten, die durch Spiralfedern hervorgerufen werden können. Bisher konnten wir alle Erkenntnisse über Rotation durch Übertragen der aus der Translation bekannten Ergebnisse gewinnen. Deshalb vergleichen wir auch hier einmal die lineare Federschwingung mit der Schwingung einer Spiralfeder.

Bei der Federschwingung hatten wir zusammenfassend folgende Ergebnisse gewonnen:

Die Rückstellkraft einer Feder lautet (Hook'sches Gesetz)

.

Die Schwingungsgleichung der Federschwingung lautet

.

Die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung lautet

Die Kreisfrequenz der Schwingung ist gegeben durch

mit

Die Schwingungsdauer ist gegeben durch

=

Die Schwingungsfrequenz ist gegeben durch

n = =

Analog zur Translation betrachten wir statt der Kraft das Drehmoment und statt des linearen Weges den Winkel j . Die Federkonstante wird mit D bezeichnet, sie heißt Direktions-moment. Damit können wir im Vergleich mit dem Hook'schen Gesetz direkt die 'Rückstellkraft' - bei der Rotation wird diese rücktreibendes Moment genannt - angeben:

Bei Auslenkung um den Winkel j übt eine Spiralfeder ein rücktreibendes Drehmoment aus:

rücktreibendes Drehmoment

.

Die Bewegungsgleichung berechnet analog man aus

Û

Dementsprechend ist die allgemeine Lösung

mit der Schwingungsdauer T = 2 p

I ist das Trägheitsmoment des auf die Drillachse aufgesetzten Probekörpers, wenn das Trägheitsmoment der Drillachse selbst vernachlässigt werden kann. Dieses Ergebnis entspricht dem Ergebnis der linearen Federschwingung, wenn man das Trägheitsmoment als Analogon zur Masse und das Direktionsmoment als Analogon zur Federkonstanten sieht.

Je größer das Direktionsmoment ist, desto schneller schwingt der Körper; je größer das Trägheitsmoment des schwingenden Körpers ist, desto langsamer schwingt er.

Als mögliche Anwendung dieses Verhältnisses kann man eine Bestimmung des Direktionsmomentes D vornehmen, oder das Trägheitsmoment eines Körpers durch Rotation um verschiedene Achsen berechnen

Diese Schwingung ist auch die Erklärung für die Schwingung bei der Gravitationsdrehwaage nach Cavendish.