Versuch VII.4: Dehnung eines Stabes
Versuch VII.5: Dehung eines Kautschukbandes
Versuch VII.6: Zerreißspannung
Versuch VII.4: Dehnung eines Stabes
= 
= 1
Definition VII.1: Das Verhältnis zwischen der ursprünglichen Länge eines Körpers und der Längenänderung durch eine Krafteinwirkung nennt man Dehnung :  |
Definition VII.2: Das Verhältnis von aufgewendeter Kraft, mit der an einer Fläche A gezogen wird, und der Fläche selbst, nennt man Spannung:  |
=
.
Das Verhältnis von Dehnung zu Spannung ist gegeben durch eine Proportionalität
Notation VII.2: Die Proportionalitätskonstante wird Dehnungskoeffizient genannt und mit a abgekürzt. |
.
Notation VII.3: Den Umkehrwert des Dehungskoeffizienten bezeichnet man mit E und nennt ihn Elastizitätsmodul  . |
.Merke: Das Dehnungsgesetz ist eine Form des Hook'schen Gesetzes. Es lautet: |
=.
Bei der Dehnung eines Körpers tritt zudem eine Querkontraktion auf. Das zeigen wir in einem weiteren Versuch:
Versuch VII.5: Dehnung eines Kautschukband
Der Versuchsaufbau ist derselbe wie zuvor, nur mit dem Unterschied, daß diesmal statt eines Stabes ein Kautschukband der Breite d gedehnt wird. Um die Verformung besser beobachten zu können, ist auf dem Band ein Kreis aufgezeichnet. Dehnt man das Band, so verformt sich der Kreis des Radius r zu einer Ellipse mit einer kleineren Halbachse < r.
Die Änderung der Breite d wird wieder mit dem Verhältnis angegeben:
Merke: Die Verformung einer Fläche wird beschrieben durch das Verhältnis der Dehnung zur Querkontraktion. m = - . Das Verhältnis wird angegeben mit der Poissonschen Zahl m . |
und der Länge l:
und 
Û 
Merke: Die Volumenänderung eines Quaders durch E und m ausgedrückt lautet . |
Dieser Ausdruck ist positiv, wenn die Poissonsche Zahl größer als 0,5 ist.
Nun betrachten wir die Kompression eines Körpers.
Kompression wird verursacht durch die Einwirkung eines allseitig gleichmäßigen Druckes p auf einen Körper. Definieren wir zunächst den Begriff des Drucks:
Definition VII.3: Der Druck p ist der Betrag der Kraftkomponente Fn normal zur Fläche geteilt durch die Fläche A, auf welche die Kraftkomponente wirkt:  . |
|
Einheit |
Zeichen |
Faktor zur Umrechnung in Pa bar at atm Torr |
||||
|
Pascal = 1 Nm-2 |
Pa |
1 |
10-5 |
1.02 · 10-5 |
9.87 · 10-6 |
7.50 · 10-3 |
|
Bar = 105 Pa = 0,1 MPa |
bar |
105 |
1 |
1.02 |
0.987 |
7.5 · 102 |
|
Techn. Atmosphäre |
at |
9.81 · 104 |
0.981 |
1 |
0.968 |
7.36 · 102 |
|
Phys. Atmosphäre |
atm |
1.013 · 105 |
1.013 |
1.033 |
1 |
7.6 · 102 |
|
Torr |
Torr |
1.333 · 102 |
1,333 · 10-3 |
1,36 · 10-3 |
1.32 · 10-3 |
1 |
Merke: 1 bar » 1 at und 1 hPa = 1 mbar |
Nun betrachten wir einen Würfel, der an drei Seiten festgehalten wird und auf dessen drei freie Seiten der Druck p wirkt.
Die Volumenänderung können wir direkt berechnen aus
wegen s = 
folgt
mit
Die so ermittelte Proportionalitätskonstante k wird Kompressibilität genannt. Analog zum Elastizitätsmodul definiert man ein Kompressionsmodul.
Notation VII.4: Den Umkehrwert der Kompressibilität bezeichnet man mit K und nennt ihn Kompressionsmodul  . |
Die Volumenänderung ist also proportional zum Druck. Sie wird angegeben durch das Kompressionsmodul, das zusammenhängt mit E und m über die Gleichung
.Da 
< 0 ist gilt für positiven Druck p > 0: k > 0 und m < 0.5
Nun wollen wir in einem weiteren Versuch untersuchen, was passiert, wenn man einen Draht über die elastische Grenzen hinaus ausdehnt.
Versuch VII.6: Zerreißspannung
Zwischen Zerreißen und elastischer Verformung liegen natürlich noch andere Bereiche. Von einem Gummiband ist uns bekannt, daß man es elastisch spannen kann, und es nimmt seine ursprüngliche Länge wieder an. Zieht man etwas zu fest, so leiert das Gummi aus, und es kehrt nicht wieder in seine Ausgangsform zurück. Zieht man dann fest genug, zerreißt es.
Dieses Verhalten sieht bei Metallen skizziert wie folgt aus:
1. Elastischer Bereich: 0 - A (bzw. A')
Die Abbildung zeigt, daß im Hook'schen Bereich die Verformung bis zur Proportionalitätsgrenze (A) rein elastisch ist. Bis zu diesem Punkt sind Spannung und Dehnung proportional (e ~ s ) und die Spannungs-Dehnungs-Kurve ist eine Gerade. Aus meßtechnischen Gründen wurde die Elastizitätsgrenze (b 0,2) (A') eingeführt, bei der die verbleibende Verformung 0,01 % beträgt. Bis hierher nimmt die Dehnung zwar etwas stärker zu, aber die Verformungen lassen sich in beiden Richtungen identisch durchlaufen.
2. Inelastischer, plastischer Bereich: B - E
Oberhalb b 0,2 knickt die Kurve ab und erreicht bei weiterer Belastung die Streck- oder Fließgrenze (b s) (B). Ab dem Punkt B beginnt das Fließen des Metalls, d.h. ganze Bereiche im Polykristall verschieben sich gegeneinander. Bei einigen Metallen tritt dann wieder eine Verfestigung ein, die durch die Gleitmöglichkeit des Stoffes festgelegt ist. Bei weiterer Belastung nimmt dann die elastische Spannung bis zu einem maximalen Wert wieder zu. Die an diesem Punkt (D) wirkende Höchstspannung wird als Zug- bzw. Zerreißfestigkeit (-spannung) (b z)bezeichnet oder auch als Bruchdehnung (s B).
Die Verformungen, die zwischen der Elastizitätsgrenze (A') und der Bruchdehnung (D) auftreten werden als plastische Verformungen bezeichnet. Trotz dieser Verformungen läßt sich ungefähr eine Gerade parallel zur ursprünglichen in beide Richtungen durchlau-fen, da einzelne Teilbereiche noch elas-tisch bleiben. Die bei der Be- und Entlastung durchlaufenen Geraden werden als elastische Hysterese bezeichnet.
3. Zerreißen: nach E
Bei weiterer Belastung nach der Bruchdehnung (D) schnürt sich der Draht ein, es erfolgt eine Querschnittsverminderung, die Spannungs-Dehnungs-Kurve 'fällt ab' und der Stab reißt an dieser Stelle im Punkt (E).
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