Versuche und Berechnungen

II.5 Versuche und Berechnungen

zur Kinematik

II.5.1 Gradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit

Versuch II.1: Die Luftkissenbahn

II.5.2 Gradlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigung

Versuch II.2: Freier Fall

II.5.3 Gradlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigung

Versuch II.3: Schiefe Ebene

II.5.4 Beispiel einer nichtlinearen Bewegung

Versuch III.4: Der horizontale Wurf

Betrachten wir im Folgenden eine eindimensionale Bewegung in x-Richtung. Diese Bewegung läßt sich, wie bereits gezeigt, in einem Weg-Zeit-Diagramm darstellen. Gegeben sei nicht die exakte Bewegungsgleichung, sondern das Weg-Zeit-Diagramm:

Über Differentation der Funktion x(t) kann jetzt die Funktion v(t) errechnet werden.

Analog kann mit der ersten Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion nach der Zeit auch die Beschleunigungsfunktion errechnet werden.

Nimmt man die Funktion a(t) als gegeben, so kann man über Integration v(t) und x(t) errechnen.

Ich habe noch ein paar Beispiele zum Einprägen.

II.5.1 Geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit

zurück zum Kopf der Seite

Versuch II.1: Die Luftkissenbahn

Eine Bewegung längs einer Geraden wird gradlinige Bewegung genannt und kann mit dem Skalar x(t) und t beschrieben werden.

Bei dem Versuch mit der Luftkissenbahn wird auf einer Schiene ein Wagen angeschoben. Bei einer festen Geschwindigkeit wird der Wagen losgelassen: Da der Wagen auf einer Schiene geführt wird, ändert er seine Richtung nicht. Die Reibung kann vernachlässigt werden; die Geschwindigkeit ist folglich nach Richtung und Betrag konstant. In gleichen Abständen montierte Lichtschranken messen nun die Zeit, die der Wagen benötigt, um die Strecke D x zurückzulegen.

Die Messung ergibt immer gleiche Zeitspannen. Das bestätigt die folgende Rechnung:

Randbedingung:

v = constant

Aus

Þ D x = D t · v

Þ x₂ - x₁ =( t₂ - t₁) · v

Þ x₂ =( t₂ - t₁) · v + x₁

Das gilt für die Strecke x_i - x₀ zwischen zwei beliebigen Schranken. Also gilt für alle t:

x = x₀+ ( t - t₀) · v

Merke: Das Weg-Zeit-Gesetz für die 1-dimensionale gradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit v lautet: x = x₀+ ( t - t₀) · v

Verallgemeinerung für dreidimensionale Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit:
Die Geschwindigkeit bleibt auch hier in Richtung und Betrag gleich, wird aber als Vektor

geschrieben. Der Anfangsort der Bewegung ist gekennzeichnet durch den Vektor

= (x₀, y₀, z₀)

= constant

und

= (x, y, z) .

Aus

folgt dann

D x = v_x D t Ù D y = v_y D t Ù D z = v_z D t

Die Umformungen von oben für alle drei Komponenten ausgeführt ergibt die Bewegungs-gleichung für den dreidimensionalen Fall:

x = x₀+ ( t - t₀)· v_x

y = y₀ + (t - t₀) · v_y

z = z₀ + (t - t₀) · v_z

Merke: Das Weg-Zeit-Gesetz für die 3-dimensionale Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit

lautet:

+ ( t - t₀) ·

Die eindimensionale Bewegung ist ein Sonderfall der dreidimensionalen Bewegung mit und = (x, 0,0).

II.5.2 Geradlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigung

zurück zum Kopf der Seite

Versuch II.2: Freier Fall

Empirisch läßt sich bestätigen, daß auf der Erde alle Körper dieselbe Beschleunigung in Richtung der Erde erfahren, die Beschleunigung durch die Schwerkraft. Sie wird üblicherweise mit g bezeichnet und kann als Skalar beschreiben werden, da sie nur in Richtung der Erdoberfläche, also in y-Richtung wirkt. Als Vektor dargestellt gilt:

= (0, -g, 0). Der Betrag der Erdbeschleunigung ist g = 9,81 m / s².

Gegeben sei also nur a = g = constant. Untersuchen wir nun die Geschwindigkeitsfunktion eines Körpers im freien Fall längs einer Achse:

v(t) =

+ v₀ Û v(t) =

+ v₀ ,da a(t) = a konstant ist

Û v(t) = a (t - t₀)+ v₀, mit= (t - t₀)

Die Geschwindigkeit wächst also linear mit der Zeit. Die Konstante v₀bezeichnet die Anfangsgeschwindigkeit, die der Körper hatte, bevor er losgelassen wurde. War der Körper zur Zeit t₀ in Ruhe, also v₀ = 0 m/s, dann gilt:

v(t) = a (t - t₀).

Setzen wir die Zeit, in welcher der Körper losgelassen wird, als Anfangszeit der Messung, also

t₀ = 0 s, dann gilt:

v(t) = at + v₀

Diese Funktionen sind jedoch nur Spezialfälle der allgemeinen Lösung und setzen bestimmte Randbedingungen voraus.

Aus der Funktion für die Geschwindigkeit läßt sich jetzt das Weg-Zeit-Gesetz berechnen:

x(t) =

mit v(t) = a (t - t₀) + v₀

Û x(t) =

+ v₀ (t - t₀) + x₀ Û x(t) =

(t - t₀ )² + v₀ (t - t₀) + x₀

Diese Funktion ist quadratisch, der Weg nimmt also quadratisch mit der Zeit zu. Die neu hinzugekommene Konstante bezeichnet die Verschiebung des Anfangsortes vom Ursprung des Bezugssystems. Durch geschicktes Setzen der Randparameter, t₀ = 0 s, v₀ = 0 m/s und x₀ = 0 m kann diese Gleichung in die stark vereinfachte Form

x(t) =

t ² gebracht werden.

Merke: Bei der gradlinigen Bewegung mit konstanter Beschleunigung gilt:

x(t) = (t - t₀ )² + v₀ (t - t₀) + x₀;

v(t) = a (t - t₀)+ v₀

und a(t) = constant

Damit gilt insbesondere für den Freien Fall:

Beschleunigung: a = - g

Randbedingungen: t₀ = 0s, v₀ = 0 m/s und x₀ = 0m

x(t) = -

t ²

Differentation ß v(t) = - gt Ý Integration mit Randbedingungen

a(t) = - g.

Bei dem Laborversuch des Freien Falls werden Kugeln verschiedener Größe, Masse und verschiedenen Materials eine vorher gemessene Strecke x ohne Anfangsgeschwindigkeit fallen gelassen. Eine Uhr mißt die Zeit, die der Körper braucht, um die Strecke zurückzulegen.

Aus x = -

t ² können wir eine Gleichung für die Zeit umformen: t =

Diese Gleichung hängt nur von der Konstanten g und der Strecke ab. Der Versuch bestätigt: Die Fallzeit der Kugeln ist unabhängig von Größe, Masse und Material. Sie hängt nur von der Strecke ab.

Dieses Ergebnis ist keinesfalls selbst-verständlich: Vor allem Kinder vermuten, daß schwere Körper schneller fallen müßten als leichte. Bis zu den Entdeckungen Galileis Ende des 16. Jh. galt die Vorstellung Aristoteles ( 384 - 322 v. Chr.) als richtig, schwere Körper würden schneller fallen als leichte.

Die nebenstehende Abbildung zeigt eine stroboskopische Aufnahme zweier Kugeln unterschiedlicher Masse und Größe, die zur selben Zeit auf gleicher Höhe losgelassen wurden.

Merke: Alle Körper fallen mit derselben Beschleunigung g = 9,81 m/s unabhängig von Masse, Größe oder Material.

Verallgemeinerung für dreidimensionale Bewegungen mit konstanter Beschleunigung

Analog kann bei einer dreidimensionalen Bewegung das Weg-Zeit-Gesetz aus einer gegebenen Beschleunigung und den Randbedingungen errechnet werden. Wie bei der Rechnung für die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit gezeigt, können die Komponenten der Vektoren

= (a_x, a_y, a_z ),

= (v_x, v_y, v_z ) und

= (x, y, z ) getrennt integriert bzw. differenziert werden. Die Randbedingungen werden auch durch Vektoren,

= (v₀₁, v₀₂, v₀₃ ) und

= (x₀, y₀, z₀ ), beschrieben.

In Vektorschreibweise gilt somit:

konstant

= a

mit= (t - t₀)

(t - t₀)+

mit

(t - t₀) +

folgt

(t - t₀) +

(t - t₀ )² +

(t - t₀) +

In Komponentenschreibweise werden die einzelnen Komponenten a_i, v_i, x_i und von den Randbedingungen v_0i und x₀, y₀ bzw. z₀betrachtet.

Notation II.11: x_i bezeichnet die i-te Komponente von

v_i(t) =

+ v_{0 i}

mit a_i(t) = a_i konstant

Û v_i(t) =

+ v_{0 i}

mit= (t - t₀)

Û v_i(t) = a_i (t - t₀)+ v_{0 i}

mit v_i(t) = a_i (t - t₀) + v_{0 i} folgt

x_i (t) =

Û x_i (t) =

+ v_{0 i} (t - t₀) + x₀ Û x_i (t) =

(t - t₀ )² + v_{0 i} (t - t₀) + x₀

Auch hier ist die gradlinige Bewegung ein Sonderfall der dreidimensionalen Bewegung mit

i = 1, und den Vektoren

= (a₁, 0, 0),

= (v₁, 0, 0 ) und

= (x, 0, 0 ),

= (v₀₁,0, 0) und

= (x₀, 0, 0 ).

II.5.3 Geradlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigung: schiefe Ebene

zurück zum Kopf der Seite

Versuch II.3: Schiefe Ebene

Ein weiterer Versuch zur gradlinigen, eindimensionalen Bewegung mit konstanter Beschleunigung ist die schiefe Ebene. Bei diesem Versuch wird ein Wagen auf der um den Winkel a geneigten Luftkissenbahn bei einer festen Höhe losgelassen und durch die Gravitation beschleunigt.

Diesmal können wir, nachdem wir schon berechnet haben, daß das Weg-Zeit-Gesetz quadratisch mit der Zeit verlaufen wird, die Lichtschranken entsprechen in den Abständen 1Längeneinheit (1LE), 4LE, 9LE usw. aufstellen. Jetzt müßten die Zeiten zum Durchlauf der einzelnen Wegstrecken je 1 Zeiteinheit (1 ZE) betragen, die Zeiten gemessen vom Loslaufen bei t = 0 entsprechen t₁ = 1ZE, t₂= 2ZE,

t₃ = 3ZE, usw. Bestätigt sich diese Theorie, so ist demonstriert, daß

x₁ / x₂ = t₁² / t₂² gilt.

Anhand der schiefen Ebene läßt sich auch die Zerlegung eines Vektors in seine Komponenten und die Wahl eines geeigneten Bezugssystems verdeutlichen.

Die Gravitation wirkt bei diesem Versuch nicht im rechten Winkel zur Bewegungsrichtung. deshalb dreht man zur Berechnung das Koordinatensystem, damit die x-Achse in Bewegungsrichtung zeigt. Der Vektor

muß dann in diesem System dargestellt werden. Eine Skizze des Problems, in der die Vektoren, ihre Komponenten und die wesentlichen Winkel eingezeichnet sind, zeigt bereits die Lösung des Problems:

a_x ist die Komponenten des Beschleunigungsvektors in x-Richtung und kann bereits abgelesen werden:

a_x = g · sin a .

Analog:

a_y = - g · cos a .

Da es sich bei der schiefen Bahn um ein zweidimensionales Modell handelt, gilt a_z = 0.

In Vektorschreibweise lautet der Vektor

also:

= (g · sin a ., - g · cos a ., 0 )

II.5.4 Beispiel einer nichtlinearen Bewegung

zurück zum Kopf der Seite

Versuch II.4: Der horizontale Wurf

Der horizontale Wurf ist eine Überlagerung zweier Bewegungen in der Ebene:

1. Der Körper wird von der Erde beschleunigt und führt somit einen Freien Fall aus in Richtung der Erde.

2. Der Körper wird mit einer festen Geschwindigkeit horizontal zur Erde losgeworfen und führt eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit in dieser Richtung aus.

Beschleunigung und Geschwindigkeit sind also gegeben durch

(0, -g, 0) Es existiert nur eine Beschleunigung in y-Richtung, in x-Richtung wird in diesem Versuch die Kugel mit konstanter Geschwindigkeit unbeschleunigt geworfen, die z-Komponente ist in der Ebene trivialerweise null.

= (v_x, v_y, 0) v_x ist die konstante Geschwindigkeit, mit welcher der Körper geworfen wird und sei für die Rechnung gegeben.

Als Randbedingung legen wir fest:

Anfangsort der Bewegung sei der Ort x₀ = 0, also der Ursprung des Bezugssystems.

Zeit des Abwurfs sei die Zeit t₀ = 0, die Uhren messen die Zeit erst ab Beginn der Bewegung.

Betrachten wir nun komponentenweise die Bewegung, die z-Komponente wird nicht berücksichtigt, bzw. gleich null gesetzt.:

	x-Komponente	y-Komponente
(t) =	0	- g
(t) =	= v₀ (= constant)	=
=	v₀
=	v₀	-
(t) =	=	=
=	v₀ t
=	v₀ t

Der Ortsvektor zur Zeit t lautet also: (t) = (v₀ t, , 0).

Durch Eleminierenen von t aus den x- und y- Komponenten kann eine Funktion der

x-Komponente in Abhängigkeit von der y-Komponente aufgestellt werden:

aus x = v₀ t und y = folgt y(x) =

Diese Funktion gibt die Bahnkurve des horizontalen Wurfs an, sie beschreibt die Wurfparabel.

Um die Unabhängigkeit der Bewegung in die verschiedenen senkrecht zueinander stehenden Richtungen zu demonstrieren, kann man eine Kugel im Freien Fall und eine Kugel im horizontalen Wurf beobachten, die beide zur selben Zeit am selben Ort ihre Bewegung beginnen. Eine stroboskopische Aufnahme zeigt die Bewegung der Kugeln.

In der Vorlesung wurde eine andere Variante des Versuchs gezeigt: Man läßt die Kugeln zur selben Zeit auf derselben Höhe, also y-Komponente, ihre Bewegung starten, verschiebt die Kugel für den freien Fall jedoch einige Zentimeter in Wurfrichtung der zweiten Kugel. Auf diese Weise müssen die Kugeln sich treffen. Unser Demonstrationsversuch bestätigte die Annahme für Kugeln unterschiedlicher Materialien und Größen.

zurück zum Kopf der Seite

vorheriges Kapitel

vorherige Seite

Inhaltsverzeichnis

folgende Seite

folgendes Kapitel