Bisher hatten wir die Einschränkung gemacht, daß die Berechnungen der Bewegungsgleichung nur mit der Beschreibung durch ein ruhendes Bezugssystem Gültigkeit besitzen. Es ist jedoch auch interessant zu fragen, wie man die Bewegung in einem bewegten System beschreiben kann. Als Beispiel stelle man sich einen Menschen vor, der in einem Zug entgegen der Fahrtrichtung geht. In welche Richtung bewegt er sich, und wie sieht diese Bewegung für einen Beobachter im Zug, für einen Beobachter draußen oder sogar für einen Beobachter in einem entgegenkommenden Zug aus ?
Diese gradlinige Bewegung kann man sich noch aus verschiedenen Blickpositionen vorstellen, bei einer Kreisbewegung wird es schwieriger.
In der Vorlesung wurde als Beispiel ein Punkt auf einem Kreis gezeigt, der sich um die Mitte des Kreises drehte, während der Wagen sich mit konstanter Geschwindigkeit geradeaus bewegte. In beiden Fällen beobachtete man eine Kreisbewegung. Die nebenstehende Graphik zeigt eine solche Kreisbewegung für zwei Punkte auf konzentrischen Kreisen, beobachtet in einem relativ zum Beobachter ruhenden Bezugssystem.
Die Projektion der Bewegung des Punktes auf eine Ebene aber zeigte, daß es sich dabei um eine Täuschung handelt. So sieht die Kreisbewegung auf einem mit konstanter Relativgeschwindigkeit zum Beobachter fahrenden System wirklich aus:
Wie sieht eine Bewegung also allgemein für einen mitbewegten Beobachter aus?
Wie bereits zuvor eingeführt, erfordert auch hier eine analytische Beschreibung ein Koordinatensystem. Als Laborsystem wählt man zumeist das System, indem der Beobachter ruht.
Bezeichnen wir dieses Laborsystem S jetzt wie gewohnt mit den Koordinaten (x, y, z). Dazu definieren wir ein bewegtes Bezugssystem S', welches wir mit den Koordinaten ( x', y', z') beschreiben. Als Vereinfachung setzen wir den Nullpunkt der beiden Koordinatensysteme auf den Ursprung, der zur Zeit t0 übereinstimmen soll. Ferner gehen wir davon aus, daß die Zeit invariant gegenüber einem Systemwechsel ist. Die Uhr soll also in beiden Systemen stets dieselbe Zeit anzeigen. Für große Geschwindigkeiten ist dies keinesfalls immer gegeben. Wird die Geschwindigkeit nahezu so groß wie die Lichtgeschwindigkeit, gilt die relativistische Mechanik; der Effekt der verschieden laufenden Uhren wird z.B. im sogenannten Zwillingsparadox behandelt.
Das System S' bewege sich jetzt mit konstanter Relativgeschwindigkeit 
= (vx0 , vy0 , vz0 ) gegenüber S.
Wie in Kapitel II.2 gezeigt, kann der Ortsvektor 
bei Kenntnis der Geschwindigkeit dargestellt werden als 
.
Der Ortsvektor vom Ursprung des Systems S' ist hier der Vektor 
'.
In Vektorschreibweise gilt:
Mit 
folgt
.
Nochmaliges Differenzieren liefert
wegen v0 = constant.
In Komponentenschreibweise gilt dann:
x' = x - vxo t vx'= vx - vxo ax' = ax
y' = y - vyo t vy'= vy - vyo ay' = ay
z' = z - vzo t vz'= vz - vzo az' = az
Die Beschleunigung ändert sich also nicht bei dem Wechsel in ein mit konstanter Relativgeschwindigkeit bewegtes Bezugssystem. Diese Art der Transformation von Ortsvektoren in ein anderes System heißt Galilei-Transformation. Wie der Film zeigte, ist keines der Systeme, die sich mit konstanter Relativgeschwindigkeit zueinander bewegen bevorzugt. Alle zueinander gradlinig gleichförmig bewegten Systeme sind äquivalent, man bezeichnet sie als Inertialsysteme.
Definition II.6: Inertialsysteme sind gradlinig gleichförmig gegeneinander bewegte Bezugssysteme. |
Mrke: Die Beschleunigung ist invariant gegenüber Galilei-Transformationen. |
Versuch II.5: Auffagtrichter eines Wagens
Bei diesem Versuch soll gezeigt werden, wie zwei Körper in verschiedenen (Inertial-)systemen sich bei verschiedenen Bewegungsformen zueinander bewegen. Hierzu wird ein Wagen mit einer Abschußvorrichtung und mit Auffangtrichter senkrecht zur Bodenplatte eine Kugel mit vy und ay abschießen. Sobald die Kugel den Wagen verlassen hat, wirkt auf sie nur noch die Gravitation. Untersucht werden soll, wo die Kugel landet.
1. Abschuß im Stand:
Für den ersten Versuchsteil verläuft die Schiene parallel zur Erde. Die Kugel wird im Stand abgeschossen, also mit vx = 0 und ax = 0. Wie nicht anders zu erwarten, fällt die Kugel in den Trichter zurück.
2.Der Wagen fährt mit konstanter Geschwindigkeit:
Die beiden Bezugssyteme, Laborsystem und mitbewegtes Wagensystem, sind Inertialsysteme, da mit ax = 0 keine Beschleunigung längs der Bewegungsrichtung existiert. Keines der Systeme ist bevorzugt, im mitbewegten System läuft der Vorgang wie bei Versuchsteil 1. ab und die Kugel fällt folglich in den Trichter zurück.
3. Der Wagen wird beschleunigt in x-Richtung:
Das mitbewegte Bezugssytem ist kein Inertialsystem, da der Wagen mit ax ¹ 0 längs der Bewegungsrichtung beschleunigt wird. Die Bewegung der Kugel ist nicht invariant gegenüber einer Transformation in dieses System und die Kugel fällt hinter den Wagen.
4. Abschuß senkrecht zur schiefen Ebene:
Für diesen Versuch wird die Schiene um einige Grad geneigt. Der Wagen rollt jetzt von der Erdanziehung beschleunigt nicht mehr mit konstanter Geschwindigkeit die schiefe Ebene hinab. Die Kugel wird senkrecht zur Bodenplatte, also senkrecht zur schiefen Ebene abgeschossen, als der Wagen die Geschwindigkeit v0w hat. Obwohl es sich um kein Inertialsystem mehr handelt (der Wagen wird beschleunigt), fällt die Kugel in den Trichter zurück. Das kann mittels komponentenweiser Betrachtung mathematisch verifiziert werden:
Der Wagen wird längs der schiefen Ebene beschleunigt mit
.
Damit errechnet sich die Geschwindigkeit als
vw (t) = g sina t + v0w .
Der Wagen legt damit die Strecke
zurück.
Die Kugel wird längs der schiefen Ebene ebenfalls mit 
beschleunigt.
Ihre Geschwindigkeit errechnet sich dann als vk (t) = g sina t + v0.
Da die Geschwindigkeitkomponenten von Kugel und Wagen in Richtung der schiefen Ebene gleich sind, folgt mit v0w = v0 
.
5. Abschuß von der schiefen Ebene senkrecht zur Erde:
Bei diesem Versuchsteil wird die Kugel nicht mehr senkrecht zur Bewegungsrichtung des Wagens, sondern senkrecht zur Erde abgeschossen. Die Geschwindigkeitskomponenten längs der schiefen Ebene stimmen damit nicht mehr überein. Die Differentation zweier verschiedener Geschwindigkeits-Zeit-Gleichungen führt zu zwei differierenden Orts-Zeit-Gleichungen. Die Kugel und der Wagen sind zur Zeit t nicht an derselben Ortskomponente längs der schiefen Ebene und treffen sich folglich nicht mehr. Die Kugel fällt hinter den Wagen.
Fazit aus den Versuchsteilen 3., 4. und 5.:
Falls das mitbewegte System kein Inertialsystem ist, kann man keine einfache Vorhersage über den Vorgang im mitbewegten System mehr machen.
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