IX.1 Ideale stationäre Strömungen




    IX.1.1 stationäre Strömungen

   IX.1.2 Laminare Strömungen

Versuch IXI.1: Stromlinienapparat

   IX.1.3 Kontinuitätsgleichung

Das Adjektiv "ideal" hatten wir bereits für Gase eingeführt. Dabei hatten wir ideale Gase definiert als Gase, in denen keine zwischenmolekularen Kräfte wirken. Analog wollen wir nun ideale Strömungen definieren als Strömungen, bei denen die Bindungskräfte zwischen den Molekülen ebenfalls vernachlässigt werden können, d.h. reibungsfreie Strömungen. Diese Darstellung stellt jedoch vorallem im Bezug auf Flüssigkeiten eine Vereinfachung dar, die in den folgenden Kapiteln korrigiert wird. Zunächst nehmen wir aber an, es sei bei der Bewegung von Flüssigkeiten und Gasen keine Reibung und damit auch kein Verlust mechanischer Energie gegeben.

Strömungen können auf verschiedene Weisen dargestellt werden:

Strombahnen, auch Bahnlinien genannt, geben die Bahn der Flüssigkeitsteilchen an. Man kann die Bahnlinien z.B. dadurch sichtbar machen, daß man Kork-Partikel in die Flüssigkeit gibt.

Stromlinien geben die Richtung der Geschwindigkeit Tangente an Stromlinie an. Aus der Mechanik können wir deshalb sagen, daß sie die Tangenten an die Stromlinien in jedem Punkt sind.

Aus dem Alltag weiß man, daß es verschiedene Arten von Strömungen gibt. Ein Beispiel ist die Wasserströmung in einem Fluß: Bei langsamer Strömung oder in der Mitte eines Flusses fließt dad Wasser gradlinig. Ist ein Hindernis im Wasser, so strömt das Wasser darum herum und bildet unter Umständen Verwirbelungen. Diese verschiedenen Strömungen führen zu einer Dreierklassifizierung:

  • Stationäre Strömung

  • Laminare Strömung

  • Turbulente Strömung


    • Beginnen wir zunächst mit der einfachsten Form der Strömung:

    IX.1.1 Stationäre Strömungen

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    Bei stationären Stömungen fließen alle Wasserteilen mit derselben Geschwindigkeit geradeaus in dieselbe Richtung. Gibt man kleine Kork- oder Aluminium- Körperchen in die Strömung, so fließen diese parallele Bahnen lang. Die Bahnlinien sind folglich Parallelen. Die Stromlinien, gegeben durch die Änderung der Geschwindigkeit, sind die Tangenten an diese Graden, also mit den Parallelen identisch. Weder Stromlinien noch Strombahnen ändern sich mit der Zeit. Man kann bei stationären Strömungen deshalb das Geschwindigkeitsfeld sichtbar machen, denn sie entsprechen den Strombahnen.


    Merke: Bei stationären Strömungen sind Stromlinien und Strombahnen identisch.

    IX.1. 2 Laminare Strömungen
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    Auch bei laminaren Strömungen kreuzen die Strombahnen sich nicht. Laminare Strömungen entstehen z.B. dadurch, daß Hindernisse in eine stationäre Strömung gebracht werden. Die Wasserteilchen müssen nun um das Hindernis herum Strömen, sie ändern also ihre Richtung und auch ihre Geschwindigkeit.

    Ist die Geschwindigkeit der stationären Strömung nicht zu groß, so entstehen hinter den Hindernissen keine Wirbel oder Turbulenzen. Dann werden diese Strömungen, bei denen Strombahnen nicht gleich Stromlinien sind, laminare Strömungen genannt.


    Wir wollen in einem Versuch stationäre und laminare Strömungen sichtbar machen:

    Versuch IX.1: Stromlinienapparat

    Bei diesem Versuch wird ein Glaskasten von einer Flüssigkeit durchflossen. Zunächst befindet sich in dem oben offenen Kasten kein Hindernis. Da der Flüssigkeit emulgierende Teilchen zugesetzt sind, kann man die parallelen Strombahnen beobachten.

    Nun werden nacheinander verschiedene Körper in die Strömung gebracht. Zunächst betrachten wir einen Quader: Wird der Quader mit einer Spitze in Strömungsrichtung gehalten, so teilt sich der Strom an dieser Spitze. Hinter dem Körper entstehen Wirbel. Dreht man den Quader mit einer seite in die Strömung, so sind viel mehr Wirbel zu beobachten. Bei einem Keil hingegen, der auch mit der Spitze in Strömungsrichtung eingetaucht wird, entstehen nur wenig Wirbel an der flachen Rückseite. Zuletzt betrachten wir die Strömung um einen abgerundeten Keil, eine Art Flugzeugflügel herum. Hier entstehen keine Wirbel, man sieht eine laminare Strömung. Deutlich ist zu erkennen, daß die Teilchen um das Hindernis herumschwimmen und dabei ihre Richtung und Geschwindigkeit ändern.

    Das ist einfach zu erklären: der Gesamtmassendurchfluß muß konstant bleiben, das bedeutet, daß jedes Wasserteilchen, das in den Behälter hineinfließt auch wieder herausfließen muß. Da das Volumen nicht verändert wird und auch die Dichte konstant bleibt, ist dies die logische Schlußfolgerung. Die quantitative Untersuchung dieser Überlegung führt zur sogenannten Kontinuitätsgleichung:


    IX.1.3 Kontinuitätsgleichung
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    Zur Berechnung der Änderung der Geschwindigkeit von Wasserteilchen, die einen veränderten Querschnitt passieren, gehen wir also von der Annahme aus, die Strömung sei laminar und die Kompressibilität k sei null. Betrachten wir nun eine Flüssigkeit , die durch einen Schlauch fließt, der sich verengt.

    Für ein Volumenelement dV einer Flüssigkeit gilt:

    dV = A1 ds1 = A2 ds2

    Die in diesem Volumenelement befindliche Masse dM ist dann

    dM = r dV

    mit konstanter Dichte r .

    Dann strömt durch die Fläche A1 in der Zeit dt die Masse

    Mit dV1 = A1 ds1 folgt

    Die Massenerhaltung besagt, daß dieselbe Masse pro Zeit auch durch die geringere Querschnittsfläche A2 fließen muß.

    Also gilt

    Û

    mit
    Þ

    wenn die Dichte konstant, also k gleich null ist.

    Das Verhältnis von Querschittsfläche und der Geschwindigkeiten ist also umgekehrt proportional. Diese Formel wird Kontinuitätsgleichung genannt; sie gilt aber nur für k = 0.


    Kontinuitätsgleichung für inkompressible Flüssigkeiten:

    Die Ursache der Geschwindigkeitserhöhung ist eine Druckdifferenz D p = p2 - p1.

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