IV.8: Schwingungen



   VI.8.1 Federschwingung

Versuch IV.8: Federschwingung

   VI.8.2 Pendelschwingung

Versuch IV.9: Mathematisches Pendel

   VI.8.3 Zusammenfassung der Schwingungen




IV.8.1 Federschwingung
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Im Folgenden wollen wir die Bewegung einer Masse untersuchen, die an einer Feder ausgelenkt wurde. Um die Dynamik der Bewegung beschreiben zu können, müssen wir hierfür alle wirkenden Kräfte aufstellen und die resultierende äußere Kraft errechnen. Mithilfe der Newtonschen Axiome kann man dann die Beschleunigung und daraus die Geschwindigkeit und den Ort zu jeder Zeit t berechnen.

Anders als in Kapitel III. soll die Feder diesmal nicht horizontal zur Erde liegen, sondern senkrecht hinab hängen. Das Problem ist eindimensional, die Auslenkung der Feder geben wir mit dem Skalar x an, und definieren sie positiv, wenn die Feder ausgelenkt ist.

Als Ausgangslage betrachten wir eine Feder mit einer angehängten Masse m, die sich im Gleichgewicht befinde.

So wirkt auf die Masse m in Richtung der Erde, also in positiver x-Richtung die Gewichtskraft .

Zugleich wirkt die Rückstellkraft der ausgelenkten Feder, die wir mit dem Hook'schen Gesetz als angeben können.

Da die Feder sich im Gleichgewicht befindet, gilt offensichtlich .

Die beiden Kräfte heben sich auf, sie brauchen uns für die weitere Untersuchung nicht zu interessieren. Wir definieren deshalb die Auslenkung in der Gleichgewichtslage als x = 0.

Nun wird die Feder um eine beliebige Strecke x ausgelenkt. Auf die Masse wirkt jetzt eine weitere Rückstellkraft . Solange ich die Feder festhalte befindet sie sich in Ruhe, also im Gleichgewicht der Rückstellkraft und der auslenkenden Kraft , die ich ausübe.

Nun soll die Masse losgelassen werden. Es wirkt nur noch die Rückstellkraft .

Nach dem 2. Newtonschen Axiom ruft diese Kraft eine Beschleunigung hervor. Die Vektoren können unter Berücksichtigung der Richtungen durch Skalare ersetzt werden. Dann wirkt auf die Massen die Kraft F = -Dx als beschleunigende Kraft. FN = ma wirkt der Beschleunigung entgegen. Es gilt

F = FN

mit F = -Dx und FN = ma Û -Dx = ma

mit
Û . ¬

Diese Gleichung ist eine lineare ( die Ableitungen sind nur linear), homogene (der absolute Term ist null) Differentialgleichung zweiter Ordnung (die Gleichung beinhaltet maximal die zweite Ableitung).


Merke: Eine lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine Gleichung der Form.


Notation IV.5: Differentialgleichungen werden kurz als DGL bezeichnet.

Diese Form der Gleichungen hat genau zwei linear unabhängige Lösungen. Alle anderen Lösungen sind Linearkombinationen dieser Lösungen. Die Mathematik gibt Lösungsschemata an, wir begnügen uns in diesem Fall damit, die Lösungen durch Überlegungen und Erraten zu finden:

Gesucht wird eine Funktion, die zweimal abgeleitet bis auf einen konstanten, negativen Vorfaktor wieder die Ausgangsfunktion ergibt, also
~ -f(t).

Aus der Mathematik wissen wir noch, daß diese Bedingung die beiden Winkelfunktionen Sinus und Kosinus erfüllen. Da wir zwei linear unabhängige Lösungen suchen, wählen wir diese beiden mit einer beliebigen Konstanten als Ansatz:


1. Ansatz:

Þ

Þ

Diesen Ansatz setzen wir in die Gleichung ¬, um zu überprüfen, ob er die Bedingungen erfüllt:

Û =

Diese Gleichung zeigt, daß die gestellte Bedingung

erfüllt ist, und die zunächst als beliebig angenommene Konstante sich aus den bekannten Konstanten m und D zusammensetzt:

.

Analog läßt sich zeigen, daß der

2. Ansatz

eine Lösung der Gleichung ¬ ist. Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus sind linear unabhängig, die allgemeine Lösung lautet also:

.


Betrachten wir nun die Bewegung im Experiment: Die losgelassene Feder wird durch die Rückstellkraft wieder zusammen gezogen bis zu einem Umkehrpunkt, dann fällt die Masse wieder bis zum Ausgangspunkt x nach unten. Dieser Vorgang wiederholt sich periodisch: die Masse schwingt. Die berechnete Gleichung beschreibt also eine Federschwingung, sie wird deshalb Schwingungsgleichung genannt.


Notation IV.6: Die Auslenkung x der Feder ist eine Funktion der Zeit, sie wird Elongation genannt.

Das Argument in der Winkelfunktion gibt stets die Periode an, mit der die Schwingung ausgeführt wird. Setzen wir für die oben ermittelten Konstanten in die Gleichung ein, so lautet

Gleichung ¬

mit

oder anders geschrieben
.


Versuchen wir nun zu ermitteln, nach welcher Zeit die Feder wieder in die Ausgangslage zurückkehrt, wie lange eine Schwingung also dauert. Hierfür muß gelten:

Û = .

Da die Cosinus und Sinusfunktionen die Periode haben, muß gelten, und damit beträgt die Schwingungsdauer .


Notation IV.7: Man nennt das Inverse der Schwingungsdauer Frequenz n der Schwingung .

Fassen wir also zusammen:


Merke: Die Schwingungsgleichung der Federschwingung lautet.

Merke: Die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung lautet

Merke: Die Kreisfrequenz der Schwingung ist gegeben durchmit

Merke: Die Schwingungsdauer ist gegeben durch=

Merke: Die Schwingungsfrequenz ist gegeben durch

n = =



Die Konstanten A und B in der allgemeinen Lösung ergeben sich aus den Anfangsbedingungen:

Die Schwingung werde zur Zeit t = 0 bei x = A0 gestartet. Die Geschwindigkeit in diesem Punkt war null v0 = 0.

Mit

gilt also

mit t = 0
Þ .

Also muß die Konstante B null sein in der Ausgangslage der Schwingung. Zu dieser Zeit gilt also
.

Also gibt A0 die Amplitude der Schwingung an.



Versuch IV.8: Federschwingung

In diesem Versuch sollen einige der oben gewonnenen Ergebnisse experimentell nachgewiesen werden.

1) Im ersten Versuchsteil wird ein Federpendel an einem Stab befestigt, zwischen Masse und Feder wird ein Konstantandraht gespannt. Die Masse m kann an der Feder frei schwingen; Draht und Feder sind von Strom durchflossen. Über eine Schaltung kann die Teilspannung

abgegriffen werden, die abfällt, wenn der Draht mit einer Teillänge einen Teilwiderstand bildet. Abhängig von der Länge des Drahtes zwischen den Messpunkten, die proportional zur Auslenkung der Feder ist, wird die Spannung ermittelt. Die Spannung als Maß für die Auslenkung x wird auf einem Monitor zeitlich aufgetragen. Die Auswertung zeigt eine Schwingung, an der Schwingungsdauer und Periodizität gut zu erkennen sind.


2) In einem zweiten Versuchsteil wird eine Feder mit der Federkonstanten k mit einer Masse m beschwert. Die Feder wird ausgelenkt. Jetzt wird gleichzeitig die Feder losgelassen und eine Stoppuhr betätigt. Nach 20 Schwingungen wird die Uhr gestoppt. Dieser Versuch wird nun mit derselben Feder und der Masse 2m wiederholt.


Aus den Beziehungen

und

ergibt sich die Gleichung für T:
.

Mit der unveränderten Federkonstanten D gilt
~ .

In unserem Versuch mußte die Schwingungsdauer mit 2m also um den Faktor größer sein als mit der Masse m. Diese Berechnung konnte verifiziert werden.


3) Dieser Versuchsteil hatte denselben Aufbau wie 2), nur mit dem Unterschied, daß diesmal die Masse konstant gehalten und die Federkonstante durch Parallelhängen zweier gleicher Federn verdoppelt wurde. Hier mußte über die Beziehung
~

ein Faktor gemessen werden. Auch diese Relation konnte experimentell bestätigt werden.



IV.8.2 Pendelschwingungen

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In diesem Kapitel soll die Bewegung einer anderen Schwingung untersucht werden. Das einfachste Beispiel einer Pendelschwingung liefert das mathematische Pendel. Das mathematische Pendel stellt dabei einer Idealisierung dar; man betrachtet einen Massepunkt ohne räumliche Ausdehnung, der an einem masselosen Faden ohne Einwirkung von Reibung oder anderer Formen mechanischen Energieverlustes schwingt. Auch für die Berechnung dieser Bewegung müssen wir zunächst die wirkenden Kräfte betrachten. Im Gegensatz zur Federschwingung stellt dieses Pendel kein lineares Problem dar, denn das Pendel bewegt sich in einer Ebene:

Das Pendel sei um den Winkel j ausgelenkt, wenn es losgelassen wird. Auf die Masse m wirkt nun wie bei der Federschwingung nur noch die Gewichtskraft . Diesen Kraftvektor wollen wir zur genaueren Untersuchung zerlegen. Dafür betrachten wir die Bewegung des Pendels als eine Bewegung auf einem Kreisbogen. Dann kann ein Vektor zerlegt werden in eine Komponente längs des Kreisbogens, die Tangentialkomponente , und in eine Komponente in Richtung des Mittelpunktes, die Radialkomponente. Im Mittelpunkt des durch Schließen des Kreisbogens gedachten Kreises liegt der Aufhängepunkt des Fadens. Der Faden übt eine Zwangskraft, die Fadenspannkraft, auf die Masse aus; er verhindert eine Bewegung vom Mittelpunkt weg. Die Radialkomponente von der Gewichtskraft wird durch die Fadenspannkraft kompensiert. Die Tangentialkomponente verursacht nach dem 2. Newtonschen Axiom nun eine Beschleunigung längs des Kreisbogens in Richtung der Ruhelage, j = 0°.

Die Tangentialkomponente
= m sinj

wirkt als beschleunigende Kraft
F = .

Þ sinj =

mit
Þ sinj = m. ¬

Diese Differentialgleichung hängt nicht nur von einer Variablen ab, sondern von den beiden Variablen und j . Um die Gleichung dennoch lösen zu können, müssen wir sie in die Form von Notation VI.5 überführen. Dazu definiert man ein neues Koordinatensystem so, daß eine Koordinate die Bogenlänge ist. Ein Punkt wird in diesem Koordinatensystem bestimmt durch den Radius des Kreises und die Länge des Bogens. Die Bogenlänge s wird dabei geschickt im Ruhepunkt definiert, also in unserem Fall sei s = 0 wenn die Auslenkung j = 0 ist. Die Bogenlänge s sei positiv bei einer Auslenkung nach rechts. Diese Form der Koordinaten wird allgemein mit dem Begriff krummlinige Koordinaten bezeichnet, da die Achsen nicht linear verlaufen. Dennoch ist jeder Punkt einer Ebene mit diesen beiden Koordinaten darstellbar.

Mit dieser Darstellung gehen die Vektoren über in Skalare, insbesondere

® -

® ds

Þ ® , ®

Mit dieser Transformation folgt aus Gleichung ¬ :

mg sinj = m

Û + g sinj = 0 ­

Aus der Geometrie ist die Bogenlänge bekannt als Produkt aus Winkel und Radius; hier die Länge des Fadens l. Der Winkel berechnet sich dann als

j = .
Die Einheit dieser Winkelangabe ist [j ] = .


Umgerechnet beträgt ein Winkel von 180° in dieser Angabe p , ein Winkel von 360° beträgt 2p , usw. Ein Grad entspricht ungefähr 17 mrad.


Merke: Der Kreisbogen ist das Produkt aus Winkel und Radius. Der Winkel wird in rad gemessen.

Also gilt mit
j l

eingesetzt in ­

l + g sinj = 0

Û ®

Die Lösung dieser Gleichung ist immer kompliziert. Die Lösung erfolgt über die Reihenentwicklung für sin j :

sinj =


Wenn man nach dem ersten Term alle weiteren vernachlässigt, gilt

(Kleinwinkelnäherung)
sinj = j .


Für Winkel unter 10° ist diese Näherung gut: sin 10° = 0.173 und 10° ® 0,174 rad.


Damit lautet die Schwingungsgleichung ® :

.

Diese Gleichung entspricht der DGL, die wir bereits bei der Federschwingung gelöst haben. Man kann die Kreisfrequenz w direkt ablesen als .

Damit können wir auch für die Pendelschwingung zusammenfassen:



Merke: Die Schwingungsgleichung des Fadenpendels lautet.

Merke: Die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung lautet.

Merke: Die Kreisfrequenz der Schwingung ist gegeben durchmit.

Merke: Die Schwingungsdauer ist gegeben durch= .

Merke: Die Schwingungsfrequenz ist gegeben durch

n = = .




Versuch IV.9: mathematisches Pendel

1) Die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Länge des Pendels kann experimentell überprüft werden, indem man bei zwei Pendeln unterschiedlicher Länge die Schwingungsdauer für eine feste Anzahl von Schwingungen mißt. Bei unserem Versuchsaufbau konnte zudem über Hallsonden die Auslenkung der Pendel in Spannungen umgesetzt und gegen die Zeit mittels Computer simultan graphisch umgesetzt werden. Wir wählten zwei Pendel der Länge l und 1/4 l. Über die Proportionalitätsbeziehung T ~ errechnet man eine Schwingungszeit, die bei dem Pendel der Länge l um den Faktor 2 größer ist als bei dem kurzen Pendel. Dieses Ergebnis konnte sowohl an der Computerauswertung, als auch mittels Stoppuhr verifiziert werden.


2) In einem zweiten Versuchsteil kann gezeigt werden, daß die Pendel mit gleicher Länge aber unterschiedlichen Massen gleich schwingen. Dazu werden zwei Fadenpendel synchron losgelassen und beobachtet. Der Versuch über Hallsonde zwei identische Schwingungen aufzunehmen klappt nur bedingt, da die steife Stange, an der die Kugeln meßtechnisch bedingt schwingen müssen, nicht annähernd masselos sind. Je leichter die Kugel ist, desto ungenauer wird die Berechnung, da der Schwerpunkt nicht mehr in der Kugel sondern oberhalb liegt. Dieser Versuch erfordert eine Berechnung ohne die Annahme, der Faden sie masselos. Dieses Pendel wird dann physikalisches Pendel genannt und bei der Mechanik starrer Körper betrachtet.


3) Der dritte Versuchsteil soll dazu dienen, die Erdbeschleunigung g mit dem Pendel zu bestimmen. Hierfür macht man sich den Umstand zu nutze, daß die Schwingungsdauer T des Pendels nur von der Länge und der Konstanten g abhängt. Formt man die Beziehung

T =

nach g um, so folgt

.

Mit dieser Formel kann die Konstante g direkt errechnet werden, wenn die Länge l des Pendels und die Schwingungsdauer T bekannt sind. Die Schwingungsdauer kann auf zwei Arten ermittelt werden: Entweder man nimmt wie in Versuchsteil 2) mittels einer Hallsonde die Schwingung auf und liest dann aus dem Graphen eine Periode ab, oder man mißt direkt die Schwingungsdauer über eine Photozelle. Dabei wird die Photozelle z.B. so montiert, daß sie beim Nulldurchgang der Kugel einen Impuls bekommt. Der zeitliche Abstand dreier Impulse ist dann eine Schwingungsdauer. Der im Versuch ermittelte Wert lag wegen der in 2) bereits diskutierten Gründe ca. 1% über dem Literaturwert (vgl. Versuch III.4).


IV.8.3 Zusammenfassung der Schwingungen

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Die bisher diskutierten Schwingungen stellen nur zwei mögliche Beispiele von Schwingungen dar. Andere, bereits am Rande erwähnte Schwingungen führen z.B. das Ballistische Pendel und das physikalische Pendel aus. Die beiden berechneten Schwingungen hatten eine ähnliche Schwingungsgleichung und eine ähnliche Lösung. Allgemein kann man für harmonische Oszillatoren die Schwingungsgleichung, deren Lösung und die betrachteten Größen angeben in der Form:

Schwingungsgleichung des harmonischen Oszillators:

.

allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung:

mit der Kreisfrequenz der Schwingung

der Schwingungsdauer und

der Schwingungsfrequenz n =


Die Kreisfrequenz wird je nach zu untersuchender Bewegung durch die wirkenden Kräfte bestimmt.


Eine abschließende Bemerkung zur Schreibweise:

In einigen Lehrbüchern findet man statt der von uns benutzten allgemeinen Form der Lösung der Schwingungsgleichung

auch die Form .

Diese Form ist nur eine äquivalente Schreibweise für dieselbe Gleichung. Statt der von uns definierten Amplituden A und B werden in dieser Gleichung eine andere Amplitude A0 und die Phase a definiert:


Additionstheorem:
Û

Û -

Û

Diese Darstellung mit einer Amplitude und einer Phase (auch Phasenverschiebung genannt), hat den Vorteil, daß sowohl Amplitude als auch Phase direkt aus der Lösung abgelesen werden können.


Eine andere Möglichkeit der Darstellung bietet die Rechnung mit komplexen Zahlen. Mit deren Hilfe kann man die Lösung in eine Linearkombination von umformen. Diese Form der Lösung werden wir aber erst in Experimentalphysik II benötigen und dann einführen.



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