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IV.9: Energie des harmonischen Oszillators

Bei der Berechnung des Ballistischen Pendels haben wir bereits eine Energiebetrachtung vorgenommen. Dies wollen wir nun mit Kenntnis der Schwingungsgleichung für harmonische Oszillatoren verallgemeinern. Reibung und andere nichtmechanische Energieverluste seien also vernachlässigbar. Als Beispiel eines harmonischen Oszillators betrachten wir wieder die Federschwingung:

Die Bewegungsgleichung des Massepunktes m, der an einer Feder schwingt, kann, wie in IV.8.3 dargestellt, angegeben werden mit

. Um die Berechnung zu erleichtern, setzen wir in unserem Beispiel die Phase a gleich null. Die Schwingungsgleichung lautet dann:

mit a = 0

Betrachten wir nun die kinetische Energie zu einem beliebigen Zeitpunkt. Mit Definition IV.5 gilt

mit

Die Gleichung für x(t) ist gegeben durch ¬ ,

kann über Differentation errechnet werden:

Dieser Ausdruck für die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit eingesetzt in die Formel für die kinetische Energie ergibt

Jetzt untersuchen wir die potentielle Energie zu jedem Zeitpunkt . Nach Kapitel IV.1.5 gilt für die potentielle Energie der Feder

mit ¬

mit

Da wir nicht-mechanische Energien vernachlässigen wollten, gilt für die Gesamtenergie:

mit

Wegen der Energieerhaltung gilt:

Merke: Die Gesamtenergie des harmonischen Ozillatorsist zeitlich konstant.

An den Umkehrpunkten ist die Auslenkung x gleich der maximalen Amplitude A₀ und

ein ganzzahlig Vielfaches von p . Also gilt mit

und

mit sinp = 0

Das Einsetzen der Bedingung in

ergibt

In den Umkehrpunkten hat das Pendel nur potentielle Energie, die Geschwindigkeit ist null.

Eine analoge Rechnung für die Nulldurchgänge mit der Auslenkung x = 0 und

liefert

und

In den Nulldurchgängen ist also die Geschwindigkeit maximal, die potentielle Energie hingegen null.

Zusammengefaßt bedeutet das:

Merke: Die potentielle Energie und die kinetische Energie werden periodisch vollständig ausgetauscht, die Gesamtenergie ist jedoch konstant.

Abschließend betrachten wir noch die mittlere kinetische und potentielle Energie :

Notation IV.8: Der (zeitliche) Mittelwert einer Größe W wird mit

bezeichnet.

Merke: Der zeitliche Mittelwert (in der Zeitspanne von t = 0 und t = T) einer Größe W wird berechnet als

. Der Nenner stellt dabei den Normierungsfaktor dar.

Für die kinetische Energie folgt mit damit:

mit

Für die potentielle Energie folgt analog:

Mit

folgt:

Merke: Im zeitlichen Mittel steckt jeweils die Hälfte der Gesamtenergie in der kinetischen und der potentiellen Energie:

Die Gültigkeit der Gleichung

kann man ohne Berechnung aus der Betrachtung des Graphen der Funktion ablesen.

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