XIV.6 Kreisprozesse und Wärmekraftmaschinen
XIV.6.1 Carnot-Prozeß
XIV.6.1.1 Prinzip des Carnot-Prozesses
XIV.6.1.2 Berechnung des Carnot-Prozesses für n Mole eines idealen Gases
XIV.6.1.3 Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses
XIV.6.2 Kraftwärmemaschinen und Wärmekraftmaschinen
XIV.6.2.1 Wärmepumpe
XIV.6.2.2 Kühlschrank
XIV.6.3 Perpetuum mobile II. Art
XIV.6.4 Demonstration eines Heißluftmotor
XIV.6.4.1 Prinzip des Stirling-Prozesses
XIV.6.4.2 Berechnung des Stirling-Prozesses für n Mole eines idealen GasesBei den bisherigen Betrachtungen von Kreisprozessen in Kapitel XIV.5 stellten wir uns die Frage der Umwandlung von Wärme in mechanische Arbeit und umgekehrt. Dazu wurden am Anfang des Kapitels zwei neue Begriffe eingeführt:
Reversibele oder umkehrbare Prozesse nannten wir jene Prozesse, bei denen die vorgenommene Zustandsänderung zurückgenommen werden kann, ohne daß eine Veränderung bleibt. Reversible Prozesse sind idealisiert. Irreversibele Prozesse nannten wir alle realen Prozesse. Die Umwandlung erfolgt nicht umkehrbar, z.B. die Expansion eines Gases in Vakuum oder Wärmeaustausch zwischen zwei Körpern.In diesem Kapitel wollen wir die Umkehrung des Prozesses von Joule (mechanisches Wärmeäquivalent) betrachten. Wir fragen uns also, wie Wärme in mechanische Arbeit umgewandelt werden kann. Der Idealfall wäre ein Prozess, der reversibel verläuft, bei dem folglich Wärme in Arbeit umgewandelt wird ohne Verlust.
Aber wie am besten ? Was wäre eine ideale Maschine zur Umwandlung von Wärme in Arbeit ohne Verlust ?
Wie wäre ihr Wirkungsgrad ?
S. Carnot (1796 - 1832), ein Offizier und Lehrer an der Ecole Polytechnique, entwickelte einen Prozeß, mit dessen Hilfe Arbeit gewonnen werden kann. Der nach ihm benannte Carnot-Prozeß ist ein idealisierter reversibler Prozeß. Es wird sich später zeigen, daß dieser und andere reversible Prozesse den maximal möglichen Wirkungsgrad einer periodischen Maschine haben.
Wir betrachten einen Carnotprozeß, bei dem ein ideales Gas durch zwei adiabatische und zwei isotherme Arbeitstakte zunächst expandiert und dann kompremiert wird:
Zunächst befinde das Gas sich in einem Zustand mit dem Volumen V1 und der Temperatur TA.
Das Arbeitsdiagramm zeigt die Änderung der Zustandsgrößen der Arbeitssubstanz. Meist ist es ein Druck-Volumen-Diagramm. Die Abbildung zeigt das Temperatur-Volumen-Diagamm des vorgestellten Carnot-Prozesses. Beim Kreisprozeß sind es geschlossene Kurven, d.h. der Endzustand des einen Zyklus ist der Anfangszustand des nächsten Zyklus'. Hierbei ist die Nettoarbeit beim Kreisprozeß
Wird das Arbeitsdiagramm im Uhrzeigersinn durchlaufen, so gibt der Wandler Arbeit ab (W < 0), wird es umgekehrt durchlaufen, so nimmt der Wandler Arbeit auf (W > 0).
Für die vier Schritte des Kreisprozesses gilt:
1. isotherme Expansion bei
2. adiabatische Expansion
3. isotherme Kompression bei
4. adiabatische Kompression
Um die Schreibweise bei der nun folgenden Berechnung des Carnot-Kreisprozesses abzukürzen, schrewiben wir D U (1 ® 2) = U12, usw., und D W (1 ® 2) = W12, usw.
Für die Berechnung des Carnot-Prozesses betrachten wir die vier Schritte einzeln. Dabei wird für jeden Schritt die gewonnene oder geleistete Arbeit und die Änderung der inneren Energie berechnet.
1. isotherme Expansion bei
und
Nach dem 1. Hauptsatz gilt
U12 = QA + W12.
Mit
folgt aus T = const
Dann gilt
Die Arbeit wird berechnet als
Û 
Damit gilt
> 0 ¬ '2. adiabatische Expansion mit
und
Nach dem 1. Hauptsatz gilt
U23 = d Q + W23.
Mit d Q = 0 gilt
Nach Kapitel XIV.5 folgt
Û 
Û 
Ê
3. isotherme Kompression bei
und
Nach dem 1. Hauptsatz gilt
U34 = QB + W34.
Mit
folgt aus T = const
Dann gilt
Die Arbeit wird berechnet als
Û 
Û 
< 0 ® '4. adiabatische Kompression:
und
Nach dem 1. Hauptsatz gilt
Mit d Q = 0 gilt
Nach Kapitel XIV.5 folgt
Û 
Û 
Ë
Aus 2. und 4. folgt mit Ê und Ë
Die Energiebilanz des Kreisprozesses ergibt sich aus dem 1. Hauptsatz:
Aus
folgt
Mit
U23 = W23
U34 = 0. ®
und
folgt daraus
Die Arbeitsbilanz gibt an, wieviel Arbeit gewonnen wurde. Die Gesamtarbeit entspricht dabei der Summe der in den einzelnen Schritten berechneten Arbeit.
Aus
folgt mit
> 0 ¬ '
< 0 ® 'und W23 = - W41
Þ W = - n R TA ln 
- n R TB ln 
Aus 
folgt
= ln 
= - ln 
.Damit ergibt sich
(TA - TB) Ì Die Arbeit W ist negativ, d.h. sie wird abgegeben, falls TA > TB ist.
Definition XIV.6: Der Wirkungsgrad h ist definiert als nutzbare Energie oder Arbeit pro aufgewandte Energie oder Arbeit. |
In unserem Beispiel des Carnot-Prozesses wurde die Arbeit dadurch gewonnen, daß einem Wärmebad Wärme entzogen wurde. Der Wirkungsgrad ist also das Verhältnis von zugeführter Wärme und nutzbarer Arbeit
h = geleistete Arbeit geteilt durch die zugeführte Wärmealso
= h
Die Arbeit wird hier negativ angesetzt, da die errechnete Arbeit negativ ist und letztendlich der Betrag der geleisteten Arbeit entscheidend ist.
Für den von uns berechneten Carnot-Prozess folgt:
Aus Gleichung ¬ '
und Gleichung Ì
(TA - TB)folgt:
Û 
Dies ist der Wirkungsgrad des Carnot Prozesses. Für TB ¹ 0 ist h immer kleiner als eins, d.h. der Wirkungsgrad liegt unter 100%. Er ist jedoch um so höher, je größer TA - TB ist. Für eine unendlich große Temperatur TA, also für 
strebt der Wirkungsgrad gegen eins. So ist beispielsweise der Wirkungsgrad eines Dieselmotors ist deshalb höher als der eines Benzinmotors, weil die Temperaturdifferenz TA - TB größer ist.
Daß der Carnot-Prozeß so wichtig ist liegt daran, daß alle reversiblen Kreisprozesse den gleichen Wirkungsgrad haben wie der Carnot-Prozeß. Der Beweis dieser Aussage kann Kapitel VIV.6.3 und Kapitel XIV.8.2 entnommen werden.
Alle irreversiblen Kreisprozesse haben einen kleineren Wirkungsgrad.
Da alle irreversiblen Kreisprozesse einen kleineren Wirkungsgrad haben als reversible und alle reversiblen Kreisprozesse denselben Wirkungsgrad, den des Carnot-Prozesses haben, gibt uns die Formel 
den maximalen Wirkungsgrad einer periodischen Maschine an.
Merke: Der maximale Wirkungsgrad einer periodisch arbeitenden Maschine ist gegeben durch den Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses: . |
Aufgrund dieser Tatsache gibt die Formel auch die oberste Grenze des Wirkungsgrades für andere periodische Maschinen oder Kreisprozesse an. Daß die realen Maschinen einen geringeren Wirkungsgrad haben liegt an den Reibungs- und Wärmeverlusten. Hierzu betrachten wir ein Beispiel:
Eine Dampfmaschine hat im Kessel eine Temperatur von etwa T1 = 800 K. Die Kühlwassertemperatur ist etwa T2 = 300 K. Dann liegt die theoretische Obergrenze des Wirkungsgrades einer solchen Maschine bei
Û 
Û 
Tatsächlich werden jedoch nur Werte um 30 % erreicht wegen der großen Reibungs- und Wärmeleitungsverluste sowie nicht reversibler (quasistatischer) Prozeßführung.
Die Obergrenze für den Wirkungsgrad eines Verbrennungsmotors liegt bei etwa 70 %. Realisiert werden hier Wirkungsgrade von etwa 40 %. Hierbei sind die Reibungsverluste durch den Luftwiderstand und die Rollreibung des angetriebenen Fahrzeugs noch nicht berücksichtigt.
Die Entscheidung, welcher Maschinentyp vorliegt, hängt also davon ab, wie der Kreisprozeß durchlaufen wird:
Man spricht von einer Wärmekraftmaschine, wenn Wärmeenergie in mechanische Energie umgewandelt wird; der Kreisprozeß wird im Uhrzeigersinn durchlaufen. Dies ist der oben beschriebene Carnot-Prozeß. Angewandt wird dieser Prozess z.B. in Verbrennungsmaschinen und Gasturbinen.
Merke: Eine Wärmekraftmaschine ist ein Maschine, bei der Wärmeenergie in mechanische Energie umgewandelt wird. |
Kraftwärmemaschinen wandeln umgekehrt mechanische Energie in Wärmeenergie um; sie durchlaufen den Carnot-Prozeß entgegen dem Uhrzeigersinn. Hierbei kann die Maschine heizen oder kühlen und man spricht dann von einer Wärmepumpe bzw. von einem Kühlschrank.
Merke: Eine Kraftwärmemaschine ist ein Maschine, bei der mechanische Energie in Wärmeenergie umgewandelt wird. |
Es sei noch einmal erwähnt, daß diese beiden Maschinentypen sich lediglich in ihrer Arbeitsrichtung unterscheiden, wie die folgende Abbildung zeigt.
Bei der Wärmepumpe ist die Wärmequelle die Umgebung, z.B. Grundwasser oder Erdreich, der die Wärme bei tiefer Temperatur entzogen und dem System, z.B. einer Warmwasserheizung, zugeführt wird. Man transportiert Wärme von TA nach TB .
Der Nutzen bei der Wärmepumpe liegt somit in der bei hoher Temperatur abgegebenen Wärme QB , d.h. die nutzbare Energie ist 1/2 QB1/2 = QA + W. Der Arbeitsaufwand ist W.
Im Gegensatz zum Wirkungsgrad beim rechtsläufigen Carnot-Prozeß spricht man beim Verhältnis von Nutzen zu Aufwand beim linksläufigen Prozeß von der Leistungszahl e , sie ist im Grunde genauso definiert wie h :
Definition XIV.7: Die Leistungszahl e einer Wärmekraftmaschine ist definiert als nutzbare Energie pro aufgewandte Energie. |
Bei der Wärmepumpe versteht man unter der aufgewandten Energie den Arbeitsaufwand W, nicht die Wärme QA. Die Wärme QA erhält man gratis (?!) aus dem Reservoir bei TA. Die nutzbare Energie ist
mit der Arbeit
folgt aus Definition XIV.5 für die Leistungszahl einer Wärmekraftmaschine
Die Leistungszahl der Wärmepumpe nach Carnot ist immer größer als eins, und zwar um so größer, je schlechter der Wirkungsgrad eines rechtsläufigen Carnot-Prozesses zwischen denselben Temperaturgrenzen ist, d.h. je kleiner die Temperaturdifferenz TB - TA ist. Dies bedeutet, daß man mit wenig Aufwand viel Wärme verschieben kann, wenn man ein ausreichendes Wärmereservoir bei TA zur Verfügung hat. Dieses Modell beschreibt eine günstige Heizung. Die gewonnene Wärme ist größer als die benötigte Arbeit. Dies ist jedoch keine Verletzung des Energiesatzes, denn man pumpt nur die Wärme von TA nach TB. Man muß sie nicht erzeugen.
Als Beispiel betrachten wir das Freibad Hangeweiher:
Die Temperatur T1 ist gleich 295 K; T2 ist 285 K. Dann ist die Leistungszahl e = 30.
Eine Wärmepumpe sollte daher mit einer Fußbodenheizung (T1 = 30 - 35 0 C) kombiniert werden.
Û 
Auch hier gilt wie bei der Wärmepumpe, daß die Kühlung um so besser ist, je kleiner die Temperaturdifferenz TB - TA ist.
Zwei Carnotmaschinen werden so hintereinander geschaltet, daß eine Wärmekraftmaschine und eine Wärmepumpe kombiniert sind. Dann gilt für den Wirkungsgrad der Wärmekraftmaschine
Für die Leistungszahl der Wärmepumpe gilt
.Der Vergleich zeigt, daß gilt
Wenn es nun ein Wirkungsgrad größer als der Wirkungsgrad vom Carnot-Prozess gibt, d.h. angenommen es existiere ein h mit h > h Carnot
Dann gilt mit
Þ 
Þ 
Die von der Wärmekraftmaschine erzeugte Arbeit W müßte also größer sein als die von der Wärmepumpe verbrauchte Arbeit Wcarnot. Damit würde eine Netto-Arbeitsleistung 
möglich. Die Energie dafür müßte nach dem I. Hauptsatz aus dem Wärmereservoir mit T1 kommen.
Im Ergebnis wäre also diese Hintereinanderschaltung eine periodisch arbeitende Maschine die Arbeit leistet und die notwendige Energie dafür vollständig aus einem Wärmereservoir bezieht, ohne daß sich sonst etwas ändert. Eine solche Maschine nennt man ein Perpetuum mobile 2. Art. Die Erfahrung zeigt:
Merke: Es gibt kein Perpetuum mobile 2. Art. |
Merke: Ein Perpetuum mobile 2. Art ist eine periodisch arbeitende Maschine, die nichts weiter bewirkt als Arbeitsleistung und Abkühlung eines Wärmereservoirs. |
Es gibt kein Perpetuum mobile 2. Art.
Eine mögliche Anwendung eines Perpetuum mobile 2. Art wäre ein Ozeandampfer, der seine Antriebsenergie aus der gespeicherten Wärmeenergie des Ozeans entnimmt und dabei lediglich das Wasser abkühlt.
T = const. Isotherme Þ dU = 0
V = const. Isochore Þ d W = 0
In der Realität treten keine reinen Isothermen und Isochoren auf. Deshalb wird das pV-Diagramm abgerundet.
Beim Stirling-Prozess werden die folgenden vier Schritte durchlaufen:
Die Wärmezufuhr erfolgt bei der isochoren Erwärmung und bei der isothermen Expansion. Die bei der isochoren Abkühlung abgegebene Wärme ist betragsmäßig genauso groß wie die bei der isochoren Erwärmung zugeführte Wärme: Q23 = - Q41. Gelingt es, die abgegebene Wärme Q41 zwischenzuspeichern und bei der isochoren Erwärmung wieder an das System zurückzuführen, dann muß von außen her nur noch die Wärme Q34 zugeführt werden, und der Wirkungsgrad erreicht den Wert des Carnot-Prozesses.
Der Stirling-Prozeß kann wie in der Abbildung gezeigt näherungsweise so realisiert werden, daß der Verdrängerkolben und der Arbeitskolben, um 900 phasenverschoben, auf der Kurbelwelle arbeiten. Der Verdrängerkolben schiebt die Luft im Zylinder des Motors hin und her. Dabei bringt er die Luft abwechseln mit dem heißen und kalten Teil der Maschine in Kontakt. Der Verdränger ist wegen des Regenerators, der aus Metallspänen besteht, gleichzeitig Wärmespeicher, d.h. daß der Regenerator beim Druchströmen der heißen Luft Wärme aufnimmt und diese nachher wieder an die durchströmende kalte Luft abgibt.
Bei dem im Demonstrationsversuch verwendeten Demonstrationsmodell des Heißluftmotors, dient eine Glühwendel, die oben im Deckel eingebaut ist, als Wärmequelle. Der doppelwandige Zylinder im unteren Teil des Motors dient als Wärmesenke, indem Kühlwasser durch ihn hindurchfließt. Der Wirkungsgrad des Heißluftmotors kann bislang nicht mit dem von Verbrennungsmotoren konkurrieren, weil die interne Wärmeübertragung (Q41 ® Q23) nur unvollkommen gelingt. Der linksläufige Stirling-Prozess hat seine Anwendung z.B. bei der Philips-Gaskältemaschine gefunden. Hier dient als Arbeitsmedium Helium oder Wasserstoff bei der Luftverflüssigung.
Die Realisation der einzelnen Phasen kann wie folgt zusammengefaßt werden:
1. isotherme Kompression:
Der größere Teil des Arbeitsgases wird gekühlt
® der Arbeitskolben drückt das Gas zusammen.
2. isochore Erwärmung:
Die Luft wird im oberen Zylinderteil erwärmt
® der Arbeitskolben ist am oberen Totpunkt
® das Gestänge treibt den Verdränger in den Kühlraum
3. isotherme Expansion:
Im Prinzip wie 2., aber ein Teil des Arbeitsgases wird jetzt gekühlt
® der Arbeitskolben wird nach außen getrieben
® das Gestänge treibt den Verdränger in den Heizraum
4. isochore Abkühlung:
Der größere Teil des Arbeitsgases wird gekühlt
® der Arbeitskolben drückt das Gas zusammen
® eine Kurbelwelle hilft, den toten Punkt zu überwinden.
1. isotherme Kompression bei
Nach dem 1. Hauptsatz gilt
U12 = Q12 + W12.
Mit
folgt aus T = const
Dann gilt
Die Arbeit wird berechnet als
Û 
> 0 ¬ Zufuhr der Arbeit
Für isotherme Zustandsänderungen dann
< 0 ¬ 'äquivalente Wärmeabgabe
2. isochore Erwärmung bei
Aus
folgt dann
Aus dem 1. Hauptsatz
folgt damit
Nach Kapitel XIV.3 gilt dann
3. isotherme Expansion bei T = T1
Nach dem 1. Hauptsatz gilt
U34 = Q34 + W34.
Mit
folgt aus T = const
Dann gilt
Die Arbeit wird berechnet als
Û 
Û 
Û 
< 0 ®
Für isotherme Zustandsänderungen dann
> 0 ® '
4. isochore Abkühlung bei
Aus
folgt dann
Aus dem 1. Hauptsatz
folgt damit
Nach Kapitel XIV.3 gilt dann
Abgabe der Wärmemenge
Die Arbeitsbilanz errechnet sich dann als
Mit
> 0 ¬ 
< 0 ® und
folgt
(T1 - T2) < 0Arbeit wird also nach außen abgegeben.
Die zugeführte Wärme kann in Schritt 3. direkt abgelesen werden:
T1 ® 'Dann berechnet sich der Wirkungsgrad der Stirling-Prozesses als
In der Realität tritt kein isochorer Prozeß auf. Das Volumen des Heißluftmotors ändert sich aber am Umkehrpunkt des Kolbens so langsam, daß angenähert V = const ist.
Die abgegebene Leistung des Modellmotors beträgt 12 W, die Heizleistung 250 W. Die vom Kühlwasser auf der Isochore (V2) entzogene Wärme geht verloren.
Drei Betriebsarten sind mit diesem Modell möglich:
a) Heizung bei T1 und Kühlung bei T2. Dann leistet der Motor Arbeit.
b) Antrieb durch Elektromotor linksläufig.
c) Antrieb durch Elektromotor rechtsläufig.
Der Antrieb durch einen Elektromotor wird wie folgt genutzt:
Wird die Temperatur durch das fließende Wasser im Kühlmantel festgehalten, so wird der ungekühlte Teil des Zylinders je nach Drehsinn erwärmt oder gekühlt. Entscheidend für die Verwendung als Wärmepumpe oder Kühlschrank ist nur der Drehsinn des Motors.
