mit

mit dem Idealgasgesetz für ein mol

mit

Der Ausdruck mgh gibt die potentielle Energie W_P eines Moleküls im Schwerefeld wieder.

Mit

Nun schreiben wir noch den Druck p um, indem wir die Teilchenzahldichte betrachten. Dabei definieren wir die Teilchenzahldichte n in Analogie zur Massendichte als Quotient aus den in einem Volumen V enthaltenen Teilchen N und dem Volumen.

Definition XI.8: Die Teilchenzahldichte n ist der Quotient aus den in einem Volumen V enthaltenen Teilchen N und dem Volumen: .

Diese Gleichung ist die Boltzmann-Verteilung.

Merke: Das Verhältnis der Teilchenzahldichte von der potentielle Energie der Moleküle eines idealen Gases wird gegeben durch die Boltzmann-Verteilung.

Anders ausgedrückt gibt diese Gleichung wieder, wie die Teilchenzahldichten n und n₀ sich verhalten, wenn sie an diesen Orten die potentielle Energie W und W₀ haben. Potentielle Energie kann dabei Schwereenergie, aber auch z.B. elektrische Energie sein. Deshalb formuliert man für allgemeine Energiezustände W_i eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit, mit der Gasmoleküle eines Systems diese Energie besitzen:

Merke: Wenn die Moleküle eines Systems bei der Temperatur T verschiedene Energien Wi einnehmen können, dann geschieht das mit der Wahrscheinlichkeit pi : .

Dabei ist g_i das statistische Gewicht des Zustandes i. Verschiedene Zustände haben verschiedene statistische Gewichte, wenn ihre Wahrscheinlichkeit schon abgesehen von allen energetischen Betrachtungen verschieden sind. Diese Gleichung wird zentrales Theorem der statistischen Mechanik genannt:

Zentrales Theorem der statistischen Mechanik:

.

Mit dieser Gleichung läßt sich die Geschwindigkeitsverteilung von Gasmolekülen berechnen:

Für die Moleküle der Masse m eines Gases kann man die kinetische Energie angeben mit

.

Nach Boltzmann nehmen diese Moleküle diese Energie mit einer Wahrscheinlichkeit ein von

.

Der Index _v bezeichnet hier die Abhängigkeit der Energiezustände von der Geschwindigkeit v. Das statistische Gewicht g_v ist in diesem Fall die Zahl der mögliches Zustände mit einer Geschwindigkeit zwischen v und v + dv. Bei diesem Ansatz wurde bedacht, daß eine exakte Geschwindigkeit v nicht zu bestimmen ist, sondern immer mit eine Ungenauigkeit dv behaftet ist. Betrachtet man nun den Geschwindigkeitsraum, d.h. den Raum, der durch die Geschwindigkeitskomponenten v_x , v_y und v_z aufgespannt wird, so beschreiben die Vektoren und zwei konzentrische Kugelschalen. Das kann man sich mit einer Skizze veranschaulichen: Nur die Länge der Vektoren und sind bekannt. Die Zahl der möglichen Zustände mit einer Geschwindigkeit zwischen v und v + dv entspricht also der Anzahl der Punkte zwischen diesen Kugelschalen, also dem eingeschlossenen Volumen.

Also gilt mit

mit folgt

n(v)Ndv = C

mit der Proportionalitätskonstanten C.

Die Gesamtzahl der Teilchen muß erhalten bleiben, also muß gelten:

also folgt

Die Lösung des Integrals über Substitution ergibt die

Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung: .

Die exakte Rechnung kann im Anhang nachgelesen werden.

Wichtig an dieser Stelle ist es vor allem, den quadratischen Term und den exponentiellen Term zu erkennen. Diese beiden Faktoren hatten wir aus dem Diagramm bereits abgelesen. Ferner ist wichtig zu wissen, daß der Boltzmannfaktor in dieser Gleichung steht und wie die Gleichung entsteht.

Diese Bewegung ist unter einem Mikroskop deutlich zu beobachten. Auf diese Weise stieß der Botaniker Brown, der zunächst aufgrund der regellosen, zuckenden Bewegungen die Schwebeteilchen in Pflanzenzellen für Lebewesen hielt, 1827 auf einen direkten Beweis der kinetischen Gastheorie.

Wir wollen die Brownsche Molekularbewegung anhand unseres Gasmodells und anschließend in einem Film betrachten:

Versuch XI.2: Brownsche Molekularbewegung

Eine Filmaufnahme zeigt die Bewegung von Fetttropfen einer Milchemulsion unter dem Mikroskop und die Molekularbewegung von Bakterien.

Bisher haben wir einen Mittelwert der Geschwindigkeit definiert und diesen stets als den Mittelwert bezeichnet. Tatsächlich unterscheidet man in den Naturwissenschaften zwischen verschiedenen Mittelwerten. Deshalb muß man genau unterscheiden, um welchen Mittelwert es sich bei einer Rechnung handelt.

Der am häufigsten genutzte Mittelwert, der zudem meist gemeint ist, wenn der Begriff nicht weiter spezifiziert wird, ist der

Diesen hatten wir definiert als

=

.

Die Bedingung

liefert

mit

mit

Damit schreibt man die

als

Ein Vergleich der beiden mittleren Geschwindigkeiten zeigt:

mit in der Gleichung

und der Gleichung

folgt

und

Damit gilt

Mit dieser Beziehung kann man die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung besser schreiben als

Als dritte Möglichkeit der Mittelwertbildung definiert man die mittlere Geschwindigkeit als Mittelwert der Verteilung n(v). Damit ist die

.

Mit der bereits eingeführten Normierung

folgt

Eine analoge Rechnung zur Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung und der Vergleich mit der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit v_w führt zu dem Ergebnis

.

Die Lage der verschieden definierten mittleren Geschwindigkeiten sind in diesem Diagramm aufgetragen: