In diesem Volumen bewegen sich N Moleküle der Masse m regellos hin und her.

Wie läßt sich in diesem Modell der Druck auf die Wände des Gefäßes aus der Molekülbewegung herleiten

Um diese Frage zu beantworten betrachten wir wie angekündigt zunächst ein Molekül, das auf seinem Flug auf eine Wand trifft. Wir gehen davon aus, daß dieses Molekül nicht senkrecht auf die Wand treffe. Beim Stoß an der Wand wird ein Impuls übertragen, das wissen wir aus der Mechanik. Wir berechnen deshalb den Impuls, weil wir damit über die Beziehung der Kraft als Änderung des Impulses mit der Zeit und schließlich mit der Definition des Druck als Kraft pro Fläche den Druck berechnen wollen.

Die Änderung des Impulses berechnet sich dabei aus

Legen wir nun das Koordinatensystem so, daß die y-Achse längs der angestoßenen Wand verläuft, und die x-Achse senkrecht dazu, so können wir den Geschwindigkeitsvektor geschickt zerlegen: Die y-Komponente der Geschwindigkeitsvektors bleibt beim Stoß erhalten, während die x-Komponente ihr Vorzeichen ändert. Diese Geschwindigkeitsänderung

führt zu einer Impulsänderung

.

Nun können wir davon ausgehen, daß unser Molekül nicht nur einmal an eine Wand stößt, sondern auf seinem Weg ohne Energieverlust immer wieder Wände treffen wird.

Diese Frage ist einfach zu beantworten: Wir wissen, daß der Betrag der Geschwindigkeit des Moleküls in x-Richtung konstant ist, da die Reflexion immer elastisch erfolgt und die y-Komponente erhalten bleibt. Aus der Mechanik kennen wir das Gesetz für die benötigte Zeit t um eine Strecke x mit konstanter Geschwindigkeit v zurück zulegen.

Dann gilt

Die Kraft, die Das Teilchen auf die Fläche A, also eine Wand, ausübt ist dann

Der Druck auf die Fläche A, der durch unser eines Molekül erzeugt wird ist dann

wegen

mit V =

Wieviel Druck üben nun N Moleküle auf diese Wand aus

Das kann einfach über Summenbildung berechnet werden:

Nun müssen wir versuchen , diese Summe zu interpretieren. Dazu erweitern wir mit N:

In der Statistik wird die Summe über mehrere Werte geteilt durch die Anzahl der Werte als Mittelwert eingeführt. Damit definieren wir die mittlere Geschwindigkeit als

Definition XI.6: Die mittlere Geschwindigkeit definiert man als .

Mit dieser Definition folgt

Diese Größe ist eine rein statistische Größe. Wir brauchen jedoch eine meßbare Größe, die uns in Versuchen zugänglich ist.

Mit

gilt auch

Wir nutzen jetzt aus, daß alle drei Raumrichtungen statistisch gleichberechtigt sind, d.h. daß keine Richtung bei der regellosen Bewegung der Moleküle bevorzugt wird.

Dann gilt

Damit folgt aus

direkt

Diese Gleichung wird Grundgleichung der kinetischen Gastheorie genannt.

Grundgleichung der kinetischen Gastheorie:

Jetzt haben wir den Druck, der auf eine Gefäßwand wirkt, aus der mechanischen Betrachtung der Gasmoleküle erklärt und einen Zusammenhang hergeleitet. Im Anschluß müssen wir uns fragen, wie die Temperatur als Folge der Bewegung der Moleküle aufzufassen ist:

Was ist die Temperatur T

Um diese Frage zu beantworten betrachten wir wieder ein mol eines idealen Gases. Wir haben zwei wichtige Gleichungen kennengelernt:

1. das Idealgasgesetz

2. die Grundgleichung

Diese beiden Gleichungen wollen wir nun vergleichen. Dazu formen wir zunächst das Idealgasgesetz um in die Form

Nun betrachten wir die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie für die Stoffmenge 1 mol:

mit N = N_A Molekülen in einem mol und dem Volumen V_m, das ein mol einnimmt gilt

erweitert mit 2

In dieser Gleichung ist der Ausdruck für die mittlere kinetische Energie eines Moleküls enthalten. Mit folgt

Man faßt nun die beiden Naturkonstanten R und N_A zusammen, um die Rechnung mit dieser Gleichung zu vereinfachen

Definition XI.7: Die Boltzmann-Konstante wird definiert als .

Mit dieser Abkürzung folgt

Diese Gleichung gibt den wichtigen Zusammenhang der mittleren kinetischen Energie eines Moleküls mit der Temperatur an. Da dieser Zusammenhang einer der wichtigsten der kinetischen Gastheorie ist, wollen wir ihn näher untersuchen.

Durch diese Beziehungen erhält die absolute Temperatur, die zunächst rein formal zur vereinfachenden Darstellung der Gasgesetze eingeführt wurde, eine anschauliche, physikalische Bedeutung. Offensichtlich wird nicht nur der Druck eines Gases, sondern auch seine Temperatur durch die Bewegungen seiner Teilchen bestimmt.

Dabei kommt es aber nur auf die ungeordnete oder thermische Bewegung der Teilchen an und nicht auf eine allen Molekülen gemeinsame, überlagerte Bewegung. Temperatur und Druck sind statistische Größen, die sich nur auf eine sehr große Anzahl von Teilchen beziehen lassen.

Durch die kinetische Deutung der Temperatur wird jetzt auch die Bezeichnung absoluter Nullpunkt verständlich. Für T = 0 K ist auch , d.h. die Teilchen sind in Ruhe. Da die kinetische Energie keine negativen Werte annehmen kann, ist dies der kleinste überhaupt möglich Wert.

Auf ein einzelnes Teilchen des Gases entfällt der Energieanteil. Da wir festgestellt hatten, daß keine Raumrichtung bevorzugt wird, besitzt jedes Teilchen entsprechend den drei räumlichen Richtungen drei voneinander unabhängige Bewegungsmöglichkeiten. Man sagt kurz: jedes Teilchen besitzt drei Freiheitsgrade der Translation. Besteht das Molekül nicht nur aus einem Atom, so hat es zusätzlich die Bewegungsfreiheit, sich um bestimmte Achsen zu drehen. Ein solches Molekül kann zusätzlich drei Freiheitsgrade der Rotation besitzen, je nachdem, ob die Drehachse raumfest ist (1 Freiheitsgrad) oder ob sie sich in einer Ebene bewegen kann (2 Freiheitsgrade) bzw. ob die Drehachse frei im Raum beweglich ist. Diese Überlegung zu einem späteren Zeitpunkt in der Experimentalphysik vertieft.