Da Reibungskräfte nie ganz vermeidbar sind, ist jede Schwingungen mehr oder weniger gedämpft. Um eine unbegrenzte Schwingungen zu erhalten, muß man der schwingenden Masse während einer Periode genau die Energie wieder zuführen, die sie in einer Periode durch Reibung verliert. In der Technik wird das durch Selbststeuerung oder Rückkopplung realisiert: durch das schwingende System werden in geeigneter Phase Kräfte ausgelöst, die den Energieverlust in jeder Periode ausgleichen. Diese Energie muß aufgrund der Energieerhaltung einem anderen Energievorrat entnommen werden. Ein Beispiel dafür ist allen bekannt: das Pendel einer Pendeluhr wird in der geeigneten Schwingungsphase über den Anker durch die Zähne des Steigrades beschleunigt. Die ihm dadurch zugeführte Energie stammt aus dem Energievorrat einer gespannten Feder oder eines gehobenen Gewichts der Uhr.

Die bisher betrachteten, reinen Sinusschwingungen hatten keinen Energieverlust durch Reibung. Eine solche Schwingung nennt man ungedämpft.

Meistens ist die Ursache des Energieverlust die Reibung. Wir hatten gelernt, daß es verschiedene Gesetze für Reibung gibt. In einer Flüssigkeit zum Beispiel ist die Reibung proportional zur Geschwindigkeit.

Im Folgenden wollen wir eine Schwingungsgleichung herleiten für ein mathematisches Pendel, das durch Reibung gedämpft wird. Die Reibungskraft ist dabei direkt proportional zur Geschwindigkeit und dieser entgegen gerichtet.

Zunächst betrachten wir noch einmal die ungedämpfte Schwingung:

Im Gegensatz zur Federschwingung stellt das mathematische Pendel kein lineares Problem dar, denn das Pendel bewegt sich in einer Ebene:

Das Pendel sei um den Winkel j ausgelenkt, wenn es losgelassen wird. Auf die Masse m wirkt nun wie bei der Federschwingung nur noch die Gewichtskraft .

Die Tangentialkomponente verursacht nach dem 2. Newtonschen Axiom nun eine Beschleunigung längs des Kreisbogens in Richtung der Ruhelage, j = 0°.

Die Tangentialkomponente

= sinj

Þ sinj =

mit

Þ sinj = m

Diese Differentialgleichung hängt nicht nur von einer Variablen ab, sondern von den beiden Variablen und j . Um die Gleichung dennoch lösen zu können, mußten wir sie in die Form

mg sinj = m

überführen

Û m + mg sinj = 0 ¬

Mit s = j l

Û l + g sinj = 0

Die Lösung dieser Gleichung ist kompliziert, sie erfolgt über die Reihenentwicklung für sin j :

sinj =

Wenn man nach dem ersten Term alle weiteren vernachlässigt, gilt

(Kleinwinkelnäherung)

Damit lautet die Schwingungsgleichung

.

Betrachten wir nun dieselbe Schwingung mit dem Unterschied, daß zuzüglich zu der oben diskutierten Tangentialkomponente der Gravitationskraft noch eine dem entgegengesetzte Reibungskraft wirkt. Die Reibungskraft sei proportional zur Geschwindigkeit, allgemein hat eine solche Reibung das Kraftgesetz

,

wobei b dar Proportionalitätsfaktor ist. Dann müssen wir die Gleichung ¬ erweitern um diesen Reibungsfaktor

m + mg sinj =

Mit s = j l und sinj = j

Û l + g =

Û

Um diese Gleichung zu lösen definieren wir die Terme mit den Konstanten um. Wir definieren wie oben:

und als neue Konstante

Daraus folgt

In Kapitel IV hatten wir diese Gleichung dadurch gelöst, daß wir einen Lösungsansatz erraten hatten. Dieser mußte die Bedingung erfüllen, daß seine zweite Ableitung einem konstanten Vorfaktor multipliziert mit dem eigentlichen Term ergibt. Die Lösung waren die Sinus- oder Cosinusfunktionen. Um diese neue Gleichung zu lösen, müssen wir nun eine Funktion suchen, die in ihrer ersten und ihrer zweiten Ableitung dem Ursprungsterm entspricht. Der hier zu erratene Lösungsansatz muß eine e-Funktion sein. Die richtige Lösung dieser Gleichung lautet

Dabei sind j ₀, die Amplitude, und a Integrationskonstante.

Diese Gleichung wird erfüllt mit

Analog zur reinen Sinusschwingung ist dies die Winkelgeschwindigkeit der Schwingung. Statt diese Lösung herzuleiten, was übrigens in jedem Lehrbuch nachzulesen ist, ist es an dieser Stelle wichtiger, dieses Ergebnis zu untersuchen, um die gedämpfte Schwingung qualitativ zu verstehen.

Betrachten wir die Gleichung :

Für die Winkelgeschwindigkeit können wir drei markante Fälle angeben:

1) : Da d ein Maß für die Dämpfung ist, handelt es sich in diesem Fall um eine gedämpfte Schwingung, um eine Schwingung also, deren Amplitude mit der Zeit abklingt. Unser Ansatz zeigt, daß die Amplitude exponentiell mit der Zeit abnehmen muß. Dieser Fall wird Schwingfall genannt.

2) : Der Dämpfungsfaktor ist größer als der Faktor der Winkelgeschwindigkeit, es kommt keine Schwingung zustande. Das Pendel ist zu stark gedämpft um zu schwingen. Die Bewegung verläuft nicht periodisch, das heißt der Körper kehrt kriechend in seine Ausgangslage zurück, ohne über diese hinaus zu schwingen. Dieser Fall ist der Kriechfall.

3) : Diesen Fall nennt man aperiodischen Grenzfall. Das Pendel kehrt in einer minimalen Abklingzeigt in seine Ruhelage zurück. Dieser Fall ist besonders bei technischen Anwendungen interessant: in vielen Situationen möchte man die Schwingung von mechanischen Teilen unterdrücken. Wählt man dazu einen Dämpfungsfaktor, der kleiner ist als der des Grenzfalles, so klingt die Schwingung nur langsam exponentiell ab. Wählt man hingegen einen zu großen Dämpfungsfaktor, so dauerte es lange, bis er Körper in seine Ruhelage zurückkehrt.

Abschließend wollen wir eine gedämpfte Schwingung in einem Experiment betrachten:

Versuch IX.6 : gedämpfte Schwingung eines Fadenpendels

Eine mathematische Betrachtung zeigt, daß die Schwingungsperiode einer gedämpften Schwingung mit abklingender Amplitude länger wird. Diese Erscheinung ist bei unserem Versuchsaufbau leider zu gering, um sie zuverlässig nachweisen zu können.