IX.3 Laminare Strömungen realer Flüssigkeiten




    IX.3.1 Das Newtonsche Reibungsgesetz

    IX.3.2 Anwendung des Reibungsgesetzes: Strömung durch ein Rohr

    IX.3.3 Stokes'sches Gesetz

Versuch IX.5: Stokes'sche Reibung




Wie wir bereits in Versuch IX.2 gesehen haben, kann die Reibung bei der Betrachtung von strömenden Flüssigkeit nicht vernachlässigt werden. Im Folgenden werden wir deshalb von der Idealisierung der Flüssigkeiten, also Flüssigkeiten ohne Reibung, zu realen Flüssigkeiten, d.h. Flüssigkeiten mit zwischenmolekularen Kräften und damit mit Reibung, übergehen.



IX.3.1 Das Newtonsche Reibungsgesetz

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In einem Gedankenexperiment betrachten wir zwei parallele Platten, zwischen denen sich eine Flüssigkeit befinde. Die Platte (CD) wird mit einer konstanten Kraft F an Fläche (AB) entlanggezogen.

Die Platte bewegt sich (nach kurzer Anfangsphase) mit konstanter Geschwindigkeit . Zwischen Platte und Fläche bildet sich ein Geschwindigkeitsgefälle aus, weil die Moleküle an der bewegten Platte haften und mitgezogen werden. Obwohl eine konstante Kraft Ursache der Bewegung ist, findet keine Beschleunigung statt. Dieses Phänomen hatten wir schon bei der Reibung für Festkörper angesprochen. Offensichtlich wirkt eine Reibungskraft der Zugkraft F entgegen und ist dieser entgegengesetzt gleich groß.

Empirisch findet man zudem noch zwei weitere Besonderheiten:

1) Die Reibungskraft FR ist proportional zur Fläche A der Platten:

FR ~ A

2) Die Reibungskraft ist proportional zur Änderung der Geschwindigkeit mit dem Abstand h von der bewegten Fläche:
FR ~

Zusammengefaßt führen diese Beobachtungen zu einem Kraftgesetz der Form

FR ~ A

Die Proportionalitätskonstante ist eine Materialkonstante. Sie ist der Koeffizient der inneren Reibung und wird Viskosität oderdynamische Zähigkeit genannt und mit h bezeichnet.

Der gesamte Vorgang wird also durch das emprische Gesetz beschrieben

FR = h A Newtonsches Reibungsgesetz


Merke: Die Reibung innere Reibung einer Flüssigkeit wird angegeben durch das Newtonsche Reibungsgesetz: FR = h A

Einheitenbetrachtung:

Die Einheit der Viskosität ist: [ h ] = 1 = 1 Pa × s im SI.

Als alte Einheit wird gelegentlich noch 1 Poise verwendet mit 1 = 1 Pa × s = 10 Poise.


Notation IX.1: Der Kehrwert der Viskosität h wird Fluidität genannt.

Die Viskosität von Flüssigkeit ist stark temperaturabhängig. Bei Motorenöl z.B. wird die Viskosität für bestimmte Temperaturbereiche angegeben. Als Beispiel sei hier nur die Temperaturabhängigkeit der Viskosität von Wasser und Glyzerin angeführt:

 

h (t) von Wasser in m Pa s

h (t) von Glyzerin in m Pa s

t = 0°

1.79

12100

t = 20°

1.002

1480

t = 100°

0.282

14.8
Diese Tabelle zeigt die Temperaturabhängigkeit der Viskosität.


Eine direkte Überprüfung dieses Reibungsgesetzes ist sehr schwer, obwohl es qualitativ einsichtig ist, z.B. wenn ein Löffel aus Honig gezogen wird. Um uns dennoch dem Gesetz quantitativ zu nähern, betrachten wir folgenden Spezialfall laminarer Strömung mit Reibung:


IX.3.2 Anwendung des Reibungsgesetzes: Strömung durch ein Rohr

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Das Newtonsche Reibungsgesetz kann genutzt werden, um die Strömungsgeschwindigkeite einer Flüssigkeit, z.B. durch ein Rohr zu berechnen. Diese Berechnung wurde von zwei Wissenschaftlern, Hagen, einem Ingenieur, und Poiseuille, einem Arzt, im Jahr 1840 durchgeführt.

Für die Berechnung betrachten wir ein Rohr mit dem Radius R. Das Rohr habe die Länge l .

Zwischen den beiden Enden des Rohres herrsche eine Druckdifferenz p2 - p1. Diese Druckdifferenz ist die Ursache für eine Strömung durch das Rohr, sie erzeugt eine Kraft FP.

Aus
folgt


Betrachten wir nun einen Ausschnitt der strömenden Flüssigkeit. Hierzu wählen wir einen Flüssigkeitszylinder, der konzentrisch im Rohr liegt. Zunächst berechnen wir mit dem Newtonschen Reibungsgesetz die Reibungskraft am Flüssigkeitszylinder mit Radius r und Länge l :

FR = h A

mit der Mantelfläche
A = 2 p r l

folgt
FR = h 2p r l

Die Reibungskraft FR muß im Gleichgewicht (stationäre Strömung) entgegengesetzt gleich der Druckkraft Fp sein, mit der die Druckdifferenz p1 - p2 auf den Flüssigkeitszylinder wirkt:

Wir können die Bewegung der Wasserteilchen als lineare Bewegung durch das Rohr ansehen, deshalb betrachten wir nur die Komponenten der Kräfte entlang l .

Es folgt

p r2 (p1 - p2) = - h 2 p r l

Die Geschwindigkeitsverteilung ist noch unbekannt. Um zu berechnen, wie sich die Strömungsgeschwindigkeit mit der Entfernung vom Rohrmantel verändert, müssen wir diese Formel nach v auflösen. Dazu berechnen wir die Differentialgleichung für v(r)

Û

Mit den Randbedingungen vR = 0, denn die äußersten

Flüssigkeitsmoleküle haften am Rohr, ergibt sich daraus

Û


Diese Gleichung gibt die Geschwindigkeitsverteilung in Abhängigkeit

vom Abstand zum Rohr an.

Dieses Gesetz stellt eine parabolische Geschwindigkeitsverteilung vr(r) mit

v(R) = 0 und v0 (r = 0) = R2 dar.


Wie groß ist nun der Gesamtstrom durch das Rohr ? Um diese Frage zu beantworten, berechnet man die Flüssigkeitsmenge dV, die in einer vorgegebenen Zeit t durch den Rohrquerschnitt zwischen r und r + dr fließt:

Mit

folgt

dV = 2p rdr vr t.

Dann fließt durch das ganze Rohr

V =

Û

Û

Û

Û

Ausrechnen des Integrals und dividieren durch ergibt


Hagen-Poiseuille


Dieses Gesetz gibt die Stromstärke im Rohr mit R an und ist nach den Wissenschaftlern benannt, die es zuerst aufstellten.

Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit ergibt sich aus der Definition


Definition IX.1: Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit ist definiert als Stromstärke durch die durchflossene Fläche A:

Mit dieser Definition berechnet sich die mittlere Strömungsgeschwindigkeit als

Û

Einsetzen von I führt zu

Û FR = A (p1 - p2)

Û FR = p R2 (p1 - p2)

Û FR = 8 p h l ` v

Der Druckabfall läßt sich berechnen aus

(p1 - p2) = 8 h l ` v

Dieser Reibungswiderstand ist für das lineare Druckgefälle in einem Rohr verantwortlich, welches wir bereits in Versuch IX.2 beobachtet haben.

Aus folgt

.


IX.3.3 Stokes'sches Gesetz

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Eine ähnliche, aber leider kompliziertere Rechnung liefert für eine Kugel vom Radius r in einer laminaren Strömung das Reibungsgesetz

wobei die Relativgeschwindigkeit der Kugel gegen die Flüssigkeit ist. Die Reibungskraft ist der Stokes'schen Reibung also proportional zur Geschwindigkeit.


Betrachten wir zu diesem Reibungsgesetz einen Versuch:

Versuch IX.5: Stokes'sche Reibung

Bei diesem Versuch soll die Sinkgeschwindigkeit verschiedener Kugel in einer zähen Flüssigkeit gemessen werden. Für den Versuchsaufbau benötigen wir einen Zylinder, der mit einer zähen Flüssigkeit gefüllt ist, mehrere Kugeln mit verschiedenen Durchmesser desselben Materials und eine Stoppuhr. Auf dem Zylinder sind zwei Meßmarken angebracht. Während des Versuchs soll die Zeit gestoppt werden, die die Kugeln brauchen, um den Weg zwischen den beiden Markierungen zurückzulegen. Die erste Markierung ist nicht an der Oberfläche der Flüssigkeit angebracht, damit sich erst ein Gleichgewicht einstellen kann.

Die Kugeln werden von der Gewichtskraft FG nach unten angezogen. Dem entgegen wirken die Reibungs- und Auftriebskraft FR und FA.

Für die Kräfte gilt

,

und

,

wobei der Index K die Größen der Kugel und der Index FL die Konstanten der Flüssigkeit bezeichnen.

Für die Sinkgeschwindigkeit ergibt sich mittels der Kräftebetrachtung ein Wert von

Der Versuch mit verschiedenen Kugeln bestätigte, daß die Sinkgeschwindigkeit proportional zum Quadrat der Radien der Kugeln ist.

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