Planetenbewegung

V.4 Planetenbewegung,

Kepler'sche Gesetze und die Gravitation

V.4.1 Vom geozentrischen Weltbild zur Kopernikanischen Wende

Betrachtet man viele Nächte hindurch den Mars und zeichnet seine Position im Himmel in regelmäßigen Abständen ein, so kann man die Laufbahn des Mars relativ zur Erde ermitteln. Dieser Versuch führt jedoch zu einer Bahn, die keine einfache geometrische Gestalt aufweist. Der Mars scheint eine rückläufige Bewegung auszuführen.

Bereits vor 5000 Jahren begannen die Ägypter, Babylonier, Chinesen und Inder die Erscheinungen am Himmel systematisch zu beobachten. Je nach Weltbild wurde versucht, die Bewegung der Planeten um die Erde zu beschreiben.

Die beiden griechischen Philosophen Aristoteles (384 - 322 v. Chr.) und Plato(427 - 347 v. Chr.) behaupteten, die Sterne bewegten sich auf der vollkommensten aller Bahnen, dem Kreis, einmal am Tag um die Erde. Dabei, so postulierten sie, hätten die Sterne eine dem Betrag nach konstante Geschwindigkeit.

Beobachtete Abweichungen von der Kreisbahn, wie die des Mars, versuchte Ptolomäus um 150 n. Chr. durch Zusatzannahmen zu deuten. Er behauptete, durch Überlagerung einer kleineren Kreisbahn des Planeten mit der großen Kreisbahn um die Erde entstünden die zu beobachteten Epizyklen. Dieses System, das bis in die Neuzeit Gültigkeit besaß, wird heutegeozentrisches, ptolomäisches Weltbild genannt.

Noch im 16.Jh argumentierte man, die Erde könne sich nicht um sich selbst drehen, da sonst eine Kanonenkugel bei einer angenommenen Drehung von West nach Ost in Richtung Westen viel weiter fliegen müsse als nach Osten.

Dieser Theorie widersprachen erst Kopernikus (1473 - 1543 n. Chr.) und Galilei, dennoch gingen beide von Platetenbewegungen auf Kreisbahnen aus. Dem geozentrischen Weltbild widersprach Kopernikus als erster, als er in seinem Werk "De revolutionibus orbium coelestium" 1542 die Hypothesen aufstellte, die Erde drehe sich täglich einmal um die eigene Achse und dadurch erscheinen die Bewegungen der Planeten und die Erde bewege sich um die Sonne. Dieses Weltbild wird heliozentrisches Weltbild genannt. Durch das Beharren auf die Kreisbahnen der Planeten erforderte die Beschreibung der Beobachtungen auch nach der Kopernikanischen Wende noch die komplizierten Hilfsbewegungen.

V.4.2 Die Kepler'schen Gesetze

Den endgültigen Bruch mit dieser Vorstellung schaffte der Däne

Tycho Brahe (1546 - 1601), der die Marsbahn mit einer Präzession von ungefähr einer Bogenminute ausmaß. Brahe selbst fand jedoch die Fixsternparalaxe noch nicht und nahm so die Erde als ruhend an.

Johannes Kepler (1571 - 1630) wertete nach dem Tod seines Lehrers dessen Messungen aus und fand, daß die Marsbahn keinen Kreis, sondern eine Ellipse beschreibt. Er stellt anhand dieser Entdeckung drei Gesetze über die Planetenbewegung auf. Mit diesen drei Gesetzen kann die gesamte Kinematik der Planetenbewegung zusammengefaßt werden:

1.Kepler'sches Gesetz: Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Insbesondere umkreist die Erde die Sonne auf einer Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Der zweite Brennpunkt der Ellipse hat in Keplers Theorie keine physikalische Bedeutung. Dieser Satz bedeutet, daß die zwischen den Planeten wirkende Kraft eine anziehende Kraft sein muß, weil sich bei einer abstoßenden Kraft die Planeten voneinander entfernen müßten.

2. Kepler'sches Gesetz: Der von der Sonne zum Planeten gezogene Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Mit diesem Gesetz wich Kepler auch von der Theorie der Griechen ab, die Geschwindigkeit der Planeten auf ihrer Bahn sei dem Betrag nach konstant. Er erkannte, daß die Planeten sich in Sonnennähe (Periphel) schneller bewegen müssen als in Sonnenferne (Aphel).

3. Kepler'sches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten T₁ und T₂ zweier beliebiger Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen a₁ und a₂ der Bahnellipsen: .

Erst Newton versuchte aus dieser Beschreibung der Kinematik der Planetenbewegung auf die Art der wirkenden Kräfte rückzuschliessen. Er begründete damit die dynamische Beschreibung der Planetenbewegung.

V.4.3 Herleitung des Gravitationsgesetzes aus den Kepler'schen Gesetzen

Fassen wir die wichtigsten Aussagen der Keplerschen Gesetze einmal anders formuliert zusammen:

1. Kepler'sches Gesetz: Die wirkende Kraft ist anziehend, da sonst keine geschlossenen Bahnen existieren könnten.

2. Kepler'sches Gesetz: Die wirkende Kraft ist eine Zentralkraft.

Eine Zentralkraft ist dabei eine Kraft, die stets in Richtung des Mittelpunktes der Kreisbewegung zeigt und deren Funktion vom Radius der Kreisbahn abhängt. Allgemein kann man eine Zentralkraft schreiben als:

Definition V.8: Eine Zentralkraft hat stets die Form

Um diese Formulierung zu beweisen wählen wir den Rückkehrschluß:

Wir beweisen, daß aus der Annahme, die wirkende Kraft sei eine Zentralkraft der von Kepler formulierte Flächensatz folgt:

Angenommen, eine Masse m bewege sich unter Einfluß einer Zentralkraft

. Ź

Dann wirkt das Drehmoment

mit

Mit

Das heißt, für Zentralkräfte ist allgemein der Drehimpuls erhalten.

Untersuchen wir nun den Zusammenhang mit dem Flächensatz. Qualitativ hatten wir bereits gesagt, daß die Geschwindigkeit größer sein muß, je näher der Planet der Sonne ist. Oben haben wir errechnet, daß

konstant ist.

Zur quantitativen Berechnung zeichnen wir einmal die Fläche auf, die der Fahrstrahl überstreicht:

Die schraffierte Dreiecksfläche berechnet sich als die Hälfte des Produktes der Höhe h und der Strecke r:

mit

Wir definieren einen Flächenvektor, der senkrecht auf der Fläche steht und dessen Betrag der Maßzahl der Fläche entspricht

Die zeitliche Ableitung dieses Vektors, also die Änderung der Fläche, die der Radiusvektor pro Zeit überstreicht ist

Mit

Vergleichen wir diesen Ausdruck mit dem Drehimpuls:

mit

Der Vergleich von ś und ˇ zeigt, daß gilt:

Mit

= constant folgt:

~ dt. ®

Das bedeutet: In gleichen Zeit dt überstreicht der Vektor

gleiche Flächen dA.

Umgekehrt folgt aus ® auch Ź , denn wenn Ź nicht gilt, gelten auch und damit auch ® nicht, also gilt in beide Richtungen:

2.Kepler'sches Gesetz : Flächensatz Ö Zentralkraft

Die r-Abhängigkeit f(r) kann am einfachsten aus dem 3. Kepler'schen Gesetz geschlossen werden:

Hierzu gehen wir zur Vereinfachung von Kreisbahnen aus, die Halbachsen a aus der Formulierung des Kepler'schen Gesetzes seien also die Radien r eines Kreises.

Mit dieser Notation lautet das 3. Kepler'sche Gesetz :

umformuliert folgt für alle T_i und a_i

Die Radialbeschleunigung berechnet sich aus

mit

Die Kraft auf den Planeten der Masse m kann man dann angeben mit

Da k eine planetenunabhängige Konstante ist folgt direkt:

Durch das 3. Newtonsche Axiom wissen wir, daß dieselbe Kraft entgegen gerichtet auf die Sonne der Masse M wirkt:

F_S =

Zusammengefaßt gilt dann

F_S =

V.4.4 Das Gravitationsgesetz

Diese Gleichung gibt den Betrag der Kraft an, die von einer beliebigen Masse M auf eine andere Masse m ausgeübt wird. Die Richtung der Kraft wird festgelegt durch den Vektor, der die beiden Massen verbindet. Hierbei definiert man den Vektor r von der größeren zur kleineren Masse. Die Richtung der Kraft wird mit dieser Konvention angegeben durch den Einheitsvektor in Richtung der Verbindung. Somit ist die Kraft negativ, sie wirkt entgegen des Vektors, denn die kleine Masse wird angezogen und bewegt sich damit entgegengesetzt zum so definierten Einheitsvektor.

Vektoriell kann man die Gleichung der Kraft einer Masse M auf eine andere Masse m schreiben:

. Dieses Gesetz wird nach seinem Entdecker Newtonsches Gravitationsgesetz genannt.

Newtonsches Gravitationsgesetz: Eine Masse M übt auf eine andere Masse m, die sich im Abstand r befindet, eine Kraft

aus, für die gilt:

Um diese Kraft zu berechnen,müssen die Massen der Körper bekannt sein, ihr Abstand voneinander und die Konstante g . Die Konstante gilt für beliebige Körper, sie muß jedoch einmal bestimmt werden können. Um diese universelle Konstante ermitteln zu können, muß man eine Kraft kennen, die zwischen zwei Massen wirkt, ebenfalls die Massen und den Abstand.

Diese Überlegung macht sich der Engländer Cavendish (1731 - 1810) zunutze. Er erfand 1798 einen Versuch, bei dem die wirkende Gravitationskraft auf eine zweite Weise, über die daraus resultierende Bewegung der Massen, berechnet werden kann. Die so ermittelte Kraft kann dann in das Newtonsche Gravitationsgesetz eingesetzt werden und die Konstante g kann mit Kenntnis der anderen Faktoren berechnet werden.

Versuch V.7: Cavendish Drehwaage

Ein waagerechter Stab trägt an den Enden zwei kleine Bleikugeln der Masse m. Dieser Stab ist in der Mitte an einem dünnen Faden, dem Torsionsfaden, aufgehängt und kann deshalb in dem Querschlitz der Gravitationsdrehwaage frei schwingen. Am Stab ist ebenfalls mittig ein Spiegel befestigt, so daß die horizontalen Bewegungen durch einen reflektierten Laserstrahl vergrös-sert an der gegenüberliegenden Wand sichtbar gemacht werden können. Zunächst sind zwei große Kugeln der Masse M (M>>m) symmetrisch zu den kleinen Kugeln in geringem Abstand angebracht.

In dieser Stellung Ź wird im Gleichgewicht die Anziehungskraft

von M auf m durch die Verdrillungsspannung des Aufhänge-fadens kompensiert

. Wenn sich der Zeiger auf das Gleichgewicht eingestellt hat werden die großen Kugeln in die Lage geschwenkt. Jede der großen Kugeln übt nun auf die kleine eine Gravitationskraft

aus. Dadurch wirkt jetzt die Anziehungskraft von M auf m in die entgegengesetzte Richtung und

und

addieren sich. Die nun wirkende Kraft des Betrags

2F erzeugt nach Newton eine Beschleunigung a.

Mit

und

2F wirkt die Beschleunigung

Die wirkende Kraft läßt sich mit dem Gravitationsgesetz schreiben als

Für die Beschleunigung folgt:

. Ź

Die Bewegung mit dieser Beschleunigung wird über den Lichtstrahl vergrößert an die Wand projeziert. Die geometrische Betrachtung des Strahls zeigt die Abhängigkeit des Winkels, um den der Spiegel gedreht wird, von der Bewegung der Kugeln. Für den Drehwinkel des Spielgels gilt:

wenn der Weg der kleinen Kugeln mit x und ihr Abstand von der Achse d genannt wird. Der Reflexionswinkel des Strahls wird um 2q geändert. Mit L als Abstand des Spiegels von der Projektionsfläche und s als Weg des Lichtzeigers auf der Wand gilt

Mit

für den Weg gilt dann

Der Zusammenhang des Weges mit der Beschleunigung für konstante Beschleunigungen ist gegeben durch

Mit

Ein Vergleich der beiden Ausdrücke Ź und zeigt, daß für die Beschleunigung gilt:

Der Ausdruck für die zu bestimmende Konstante g lautet dann:

Die Größen M, L, r und d sind durch den Aufbau gegeben, der Weg s und die dafür benötigte Zeit wird gemessen.

Da die Gravitationskräfte zwischen zwei Körpern mit kleiner Masse sehr klein sind, wir spüren sie im täglichen Leben nicht, ist es nötig, mit dieser Drehwaage Kräfte von 10^-8 cN messen zu können. Die Präzision erfordert eine von Erschütterungen frei Umgebung. Deshalb ist dieser Versuch nur nachts durchzuführen, wenn kein Straßenverkehr herrscht. Leider kann der Versuch deshalb nur als Film vorgeführt werden.

Die Messung in dem vorgeführten Film ergab den Wert

Merke: Der Literaturwert der Gravitationskonstanten lautet

Bei solchen Drehwaagen liegt noch ein systematischer Fehler vor, der bei der Ermittlung des Wertes der Gravitationskonstanten mit berücksichtigt werden muß:

Die kleine Kugel wird ebenfalls von der anderen, weiter entfernten großen Kugel angezogen. Diese Kraft

ist zwar eine sehr kleine Kraft, führt aber dennoch zu der beobachteten Abweichung. Auch diese Kraft läßt sich über das Gravitationsgesetz berechnen:

Diese Kraft hat eine entgegengesetzte Komponente

zur messenden Kraft

Mit

Um den Faktor 1+b , mit

muß unser Meßergebnis also korrigiert werden. Mit unseren Werten folgt daraus

und damit

V.4.5 Gezeiten

Die Gravitationskräfte von Mond und Sonne sind Ursache für Ebbe und Flut, da sich das Wasser, das die Erde bedeckt, nahezu frei bewegen kann. Um die Gezeitenkräfte zu verstehen, betrachte man die Drehung des Mondes und der Erde um einen gemeinsamen Schwerpunkt. Dieser Schwerpunkt befindet sich 0,7 Erdradien vom Mittelpunkt der Erde entfernt, also noch innerhalb des Erdkörpers. Hierbei darf man sich die Verbindung Mond - Erde nicht wie ein Hantelmodell vorstellen, also mit starrer Verbindungsachse. Die Kopplung über die Gravitation ist nur eine Fernkraftkopplung. In Wirklichkeit beschreibt jeder Punkt der Erde einen eigenen Kreis. Infolge der Drehung um den gemeinsamen Schwerpunkt von Mond und Sonne wirkt auf das Wasser an ihrer mondzugewandeten Seite zusätzlich zur Gravitationskraft des Mondes eine größere Zentrifugalkraft in gleicher Richtung, während auf der mondabgewandten Seite beide Kräfte gegeneinander wirken. Dabei sind alle Fliehkräfte auf der Erde gleich zum Mond gerichtet, die Anziehungskräfte hängen jedoch vom variablen Abstand der beiden Planeten ab.

Aus der Mondmasse und dem Abstand vom Mond zur Erdmitte, r = 60 Erdradien, berechnet sich die Fliehkraft. Nun ist der mondnächste Punkt vom Mondmittelpunkt einen Erdradius weniger entfernt, also nur 59 Erdradien. Ein in diesem Punkt frei bewegliches Wasserteilen erfährt nach dem Gravitationsgesetz durch die Mondanziehung die um den Faktor (60/59)² größere Gravitationskraft. Das Wasserteilchen wird also durch den Differenzbetrag der beiden Kräfte stärker zum Mond hin beschleunigt als der starre Erdkörper. In diesem Punkt bildet sich ein dem Mond zugewandter Flutberg. Ein auf der Erdkugel genau gegenüberliegendes Teilchen ist 61 Erdradien vom Mond entfernt und erfährt deshalb die kleinere Beschleunigung. Es bleibt hinter der Erde zurück, da es vom Mond weniger stark beschleunigt wird. So bildet sich in diesem Punkt ein vom Mond angewandter Flutberg aus. Unter beiden Flutbergen dreht sich die Erde im Laufe von 24 Stunden und 50 Minuten einmal durch (der Mond bleibt täglich etwa 50 Minuten hinter der Sonne zurück).

Die Rechnung für die Beschleunigungen ergibt ein Verhältnis zur Gravitationsbeschleunigung g von

ť 10^-7.

Die Sonne übt auf der Erde eine fluterzeugende Wirkung aus, die etwa 40% von der des Mondes beträgt. Steht die Sonne in gleicher Richtung wie der Mond, Neumond, oder dem Mond entgegen, Vollmond, dann addieren sich die Wirkungen der beiden Himmelskörper und es gibt eine Springflut. Steht die Sonne bei Halbmond unter 90°, so schwächen sich die Wirkungen zu einer Nippflut. Im freien Ozean beträgt der Tidenhub nur etwa 79 cm. Im Innern von Buchten staut sich das Wasser und es entstehen Höhenunterschiede zwischen Ebbe und Flut von bis zu 12 Metern (Mont-Sant-Michel) oder sogar bis zu 21 Metern (Fundy-Bay in Kanada). Auch in kleineren "Meeren" wirken die Gezeiten: Der Baikalsee hat einen Tidenhub von 6 - 8 cm, im Genfer See sind es noch 2 mm, im Chiemsee 1 mm.

V.4.6 Zusammenhang Schwerkraft - Gravitation

Eine der wesentlichen Leistungen Newtons war es, zu erkennen, daß diejenige Kraft, die die Planeten auf ihren Umlaufbahnen hält, dieselbe Kraft ist, die den Apfel auf seinen Kopf fallen ließ. Er erkannte damit, was keineswegs eindeutig war: Gravitationskraft und Schwerkraft sind ein und dasselbe. Damit schaffte Newton zum ersten mal die Vereinigung zweier bis dahin als unabhängig von einander geltender Kräfte bzw. Phänomene.

Der mathematische Beweis, daß diese Kräfte identisch sind und die uns bekannte Formel für die Hubarbeit aus der Gravitation abgeleitet werden kann, wird in der theoretischen Physik betrachtet. Hier wollen wir nur aus dieser Tatsache die Erdmasse berechnen:

Das Gesetz der Schwerkraft hatten wir hergeleitet als

Das Gravitationsgesetz lautet

Diese beiden Kräfte sind laut Newton identisch, also gilt für beliebige m und M

Sind die beiden universellen Konstanten g und g bekannt, kann eine Masse M, die sich im bekannten Abstand r von der Probemasse m befindet, berechnet werden. So kann z.B. die Erdmasse M_E berechnet werden mit

Damit errechnet sich die Erdmasse als:

Merke: Erdmasse M_E ť

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