V.1 Kinematik der Kreisbewegung


V.1.1 Darstellung eines Vektors in verschiedenen Koordinatensystemen

Betrachten wir noch einmal die Darstellung eines Vektors,der vom Kreismittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreisbogen zeige, in einem karthesischen Koordinatensystem. Zur einfacheren Berechnung liege der Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Die Betrachtung des Kreises beinhaltet die Annahme, die Bewegung verlaufe in einer Ebene (wir setzen also z = 0) und die Länge des Radiusvektors sei konstant. Der Vektor läßt sich darstellen durch seine Komponenten in x- und y- Richtung. Die Graphik zeigt, daß die

x-Komponente

y-Komponente betragen.

Die Länge des Vektors kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras errechnet werden:

In Kapitel IV.8.2 hatten wir bereits die Polarkoordinaten r und j kennengelernt. Wir hatten festgestellt, daß jeder Punkt in einer Ebene sich darstellen läßt durch die Angabe des Radius des gedachten Kreises um den Mittelpunkt, auf dem der Punkt liegt, und den Winkel, den der Vektor mit einer definierten Achse einschließt. Insbesondere gilt für einen Punkt auf einem Kreis mit konstanten Radius, daß er bei Kenntnis des Radius nur durch den Winkel beschrieben werden kann. Diese Koordinaten spannen also eine Ebene auf und lassen sich folglich auch in einem ebenen Koordinatensystem einzeichnen. Die Achsen werden von den beiden Polarkoordinaten bestimmt.

Hier findet Ihr einen kurzen Überblick über die verschiedenen Koordinatensysteme und deren Zusammenhänge.




Der Vektor wird in den beiden Systemen folglich dargestellt als:


Karthesische Koordinaten:

Polarkoordinaten
.

Mittels der oben ermittelten Beziehungen lassen sich die Koordinaten umrechnen.
¬


V.1.2 Gleichförmige Kreisbewegung

Als erstes Beispiel einer Bewegung betrachten wir die gleichförmige Bewegung auf einem Kreis. Analog zur gradlinigen gleichförmigen Bewegung definiert man diese Bewegung über die konstante Geschwindigkeit. Die zu betrachtende Geschwindigkeit ist hierbei jedoch nicht der Vektor , sondern die Winkelgeschwindigkeit w , also die Änderung des Winkels mit der Zeit.


Definition V.1: Die Winkelgeschwindigkeit w ist die Änderung des Winkels j mit der Zeit: .

Damit definieren wir die gleichförmige Kreisbewegung als die Bewegung auf einem Kreis mit konstantem Radius r und konstanter Winkelgeschwindigkeit w .


Definition V.2: Eine Bewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einem Kreis mit konstantem Radius wird gleichförmige Kreisbewegung genannt.

Die Abhängigkeit des überstrichenen Winkels mit der Zeit kann analog zur gradlinigen Bewegung durch Integration des Winkelgeschwindigkeits - Zeit- Gesetzes berechnet werden:

Aus

folgt

und mit w = konstant
.

Mittels Integration folgt
.

Die Integrationskonstante a kann durch die Definition des Winkels j zur Zeit t = 0 als gleich null gesetzt werden. Dann gilt die

Bewegungsgleichung
.


Die Komponenten in Schreibweise der karthesischen Koordinaten können ermittelt werden durch Einsetzen der Bewegungsgleichung in die Transformationsgleichungen ¬ .

Aus

folgt mit

.

Der Vektor hat also den Betrag

Diese Gleichung ist der allgemeinen Lösung der Schwingungsgleichung des Pendels sehr ähnlich. Hier hatten wir die Lösung der Schwingungsgleichung ermittelt als:

mit der Kreisfrequenz der Schwingung
,

der Schwingungsdauer

und der Schwingungsfrequenz
n = .

Versuch V.1: Überlagerung einer Kreisbewegung und einer Pendelbewegung

Mit diesem Versuch soll untersucht werden, was die Pendel- und die gleichförmige Kreisbewegung gemeinsam haben. Dazu wird ein Fadenpendel in Schwingung versetzt. Unter dem Pendel befindet sich eine Scheibe mit darauf befestigtem Zeiger. Die Scheibe rotiert mit fester Winkelgeschwindigkeit um den Mittelpunkt, der auf einer Graden mit der Ruhelage des darüber schwingenden Pendels liegt. Durch Synchronisation, d.h. durch Loslassen des Pendels, wenn der Zeiger sich grade darunter befindet, kann man die Bewegungen so starten, daß in der ebenen Projektion Zeiger und Kugel senkrecht übereinander stehen.

Mit diesem Versuch wurde gezeigt, daß die Pendelschwingung durch Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung in die beiden Richtungen der Pendelebene synchronisiert werden kann. Die Kreisbewegung entspricht einer Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen gleicher Frequenz in x und y.

















Nun wollen wir über die Berechnung der Geschwindigkeit und anschließend der Beschleunigung versuchen, auf die wirkende Kraft zu schließen. Hierfür betrachten wir die karthesischen Koordinaten x und y, die z-Komponente sei null:

= ( , )

= ( , )

= ( , )

Zusammengefaßt lauten die Vektoren:


= (,)

=(,)

=(,).

Ein Vergleich der Vektoren und zeigt, daß eine einfache Beziehung zwischen der Beschleunigung und dem Ortsvektor einer gleichförmigen Kreisbewegung existiert:


Merke: Die Beschleunigung ist bei einer gleichförmigen Kreisbewegung radial nach innen zum Mittelpunkt gerichtet. Sie hat keine Tangentialkomponente: , .


Notation V.1: Die Tangentialkomponente des Beschleunigungsvektors wird mit bezeichnet, die dazu senkrecht stehende Radialkomponente entlang des Radiusvektors mit .

Ein (graphischer) Vergleich des Geschwindigkeits-vektors und des Radiusvektors zeigt zudem, daß diese beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Dieses Ergebnis folgt auch direkt aus der Bedingung, r sei konstant. Das bedeutet, daß keine Komponente in Richtung des Kreisradius haben kann.

Die so ermittelten Ergebnisse gelten für beliebige Winkelgeschwindigkeiten w :


Merke: Bei einer Kreisbewegung steht der Geschwindigkeitsvektor immer senkrecht auf dem Radiusvektor: , .

Für beliebige, nicht notwendigerweise konstante Winkelgeschwindigkeiten w gilt damit in Polarkoordinaten:

Geschwindigkeit entlang der Kreisbahn

mit
Þ ,

mit , da r =const.
Þ

und mit
Þ .

Mit dem oben errechneten Ergebnis
,

folgt
Þ .


Merke: Die Tangentialgeschwindigkeit einer Kreisbewegung berechnet sich als , die Radialgeschwindigkeit ist null: .

Für die Beschleunigung entlang der Kreisbahn gilt

mit
Þ ,

mit
Þ .


Definition V.3: Die Winkelbeschleunigung a ist die Änderung der Winkelgeschwindigkeit w mit der Zeit: .


Versuch V.2: tangentieller Funkenflug bei einem Schleifstein



Mit diesem Versuch soll die Flugbahn eines Punktes gezeigt werden, der mit dem Geschwindigkeitsvektor von einer Kreisbahn fliegt, weil keine Kräfte auf ihn wirken. Der Beschleunigungsvektor steht senkrecht auf den Geschwindigkeitsvektor und zum Mittelpunkt hingerichtet. Der Körper müßte also tangentiell von der Kreisbahn wegfliegen. Diesen Vorgang kann man eindrucksvoll am Funkenflug eines Schleifsteins beobachten. Hierfür treibt man einen runden Schleifstein an und hält einen Stab an den Schleifring. Die Funken fliegen tangentiell weg.





vorheriges Kapitel

vorherige Seite

Inhaltsverzeichnis

folgende Seite

folgendes Kapitel