Versuch III.5: Zwei Körper auf einem Rollwagen

Bei diesem Versuch stellen sich zwei Menschen mit gleichem Gewicht auf je ein Brett mit vier Rollen. Beide Personen halten das Ende eines Seils fest und spannen es. Dann hält einer das Seil nur fest, während der andere langsam daran zieht.

Man kann beobachten, daß beide Wagen aufeinander zurollen. Markiert man zuvor die Mitte zwischen den beiden Rollwagen, so treffen die Wagen sich genau auf dieser Markierung. Um auszuschließen, daß die zweite Person doch gezogen hat, kann jetzt der Versuch wiederholt werden mit einem unbelebten Körper gleicher Masse. Auch hier zieht die Person am Seil und wieder treffen sich beide Wagen in der Mitte.

Als Grundaussage der Dynamik hatten wir festgehalten, daß Grundlage jeder Bewegungsänderung eine Kraft ist, die auf den beschleunigten Körper ausgeübt wird. Mit diesem Versuch ist gezeigt worden, daß auch der Körper sich bewegt, der vom anderen Körper nicht aktiv herangezogen wurde. Es muß also auch auf diesen Körper eine Kraft wirken. Die beiden Massen wurden bewußt gleich groß gewählt, um zu zeigen, daß die hervorgerufene Bewegung bei zwei Körpern mit gleicher Masse entgegengesetzt gleich ist. Da Kraft nur von der Masse und der Beschleunigung abhängt, muß auch die Kraft entgegengesetzt gleich sein.

Newton formulierte in seinem 3. Axiom:

3. Newtonsches Gesetz: Die von zwei Körpern aufeinander ausgeübten Kräfte sind entgegengesetzt gleich.

Kurz wird dieses Gesetz auch actio = reactio genannt. Die Gleichung

läßt sofort erkennen, daß dieselbe Kraft bei einem Körper größerer Masse eine kleinere Beschleunigung hervorruft.

Das vielleicht populärste Beispiel hierfür ist ein Ereignis, welches Newton angeblich auf die Idee brachte, dieses Prinzip zu formulieren: Eines schönen Herbsttages schlief Newton unter einem Apfelbaum, als ein Apfel sich vom Ast löste und auf seinen Kopf fiel. Newton sei damals auf die Idee gekommen, sich zu fragen, warum eigentlich die Erde den Apfel anzieht und nicht auch vielleicht umgekehrt. In der Tat hatte er mit dieser Vermutung recht, die Bewegung der Erde durch den Apfel hervorgerufen ist nur wegen der Mengenrelation Apfel-Erde nicht registrierbar. Dennoch gilt das 3. NG auch hier: die Erde beschleunigt den Apfel betragsmäßig mit derselben Kraft wie der Apfel die Erde.

Die Gegenkraft greift dabei beim Verursacher der eigentlichen Kraft an. In unserem Beispiel heißt das, daß die erzeugte Gegenkraft im Schwerpunkt der ziehenden Person angreift, und nicht im Schwerpunkt der gezogenen. Das ist schon daraus ersichtlich, daß die resultierende von Kraft und Gegenkraft, falls sie in einem Punkt angreifen, null ist. Nach den ersten Newtonschen Axiom ist nur die resultierende der äußeren Kräfte Ursache einer Bewegung.

Kräftegleichgewicht herrscht im Verbindungsseil. Hier herrschen die Kräfte und -. Um die Bewegung eines Massepunktes zu berechnen, müssen die daran wirkenden Kräfte vektoriell addiert werden, also wirkt im Seil die Kraft

Das Seil bewegt sich nicht. Auch diese Berechnung kann mit Hilfe einer farbigen Markierung im Seil experimentell bestätigt werden.

Wie bereits stillschweigend vorausgesetzt, gilt das 3. Newtonsche Axiom sowohl für Fernwirkungskräfte, also für Kräfte, die ohne materielle Verbindung zwischen den Körpern wirken, z. B. Erdanziehung oder elektrische und magnetische Kräfte, als auch für Nahwirkungskräfte, Kräfte also, die durch materielle Verbindungen, z.B. Seile oder Federn, wirken.

Häufig wird aus praktischen Gründen nicht das statische, sondern das dynamische Gleichgewicht betrachtet. Mit dem 2. Newtonschen Axiom,

gilt dann:

Man nennt

beim dynamischen Kräftegleichgewicht die Trägheitskraft und bezeichnet sie mit dem Index _T :

Merke: Die Trägheitskraft ist der beschleunigenden Kraft entgegen gerichtet und hat denselben Betrag F.

An einen Körper im mitbeschleunigten System wirken im Schwerpunkt sowohl die beschleunigende Kraft, als auch die Trägheitskraft. Die Resultierende der auf ihn wirkenden Kräfte ist also gleich null. Diese Feststellung ist nur eine allgemeinere Formulierung des 3. Newtonschen Axioms. Sie ist bekannt als d'Alembertsches Prinzip:

d'Alembertsches Prinzip: Für einen mitbeschleunigten Beobachter ist im mitbewegten System die vektorielle Summe aus äußeren und Trägheitskräften gleich null:

Diesen Effekt kennen wir aus einer schnellen Bremsung beim Auto oder einer schnellen Kreisbewegung. Hier erfährt der Körper eine Kraft, die entgegen der beschleunigenden Kraft wirkt: Man wird im Auto beim Bremsen nach vorne geschleudert oder im Karussel nach außen gedrückt. Da, wie gezeigt, in Wirklichkeit keine resultierende Kraft auf den Körper wirkt, heißen die Kräfte auch Scheinkräfte.

Ein Beispiel, an dem man das d'Alembertsche Prinzip verifizieren kann, ist die Trägheitskraft beim Freien Fall. Wir hatten festgestellt, daß beim Freien Fall auf den Körper nur seine Gewichtskraft, also G = mg wirkt. Dies gilt nur für die Betrachtung der Kräfte von einem (unbeschleunigten) Intertialsystem aus. Im System, in dem der Körper ruht, wirkt zudem die Kraft -G = - mg. Entsprechend dem d'Alembertschen Prinzip wirkt also keine Kraft auf den Körper, er ist schwerelos.

Um dies zu verifizieren, kann man eine Waage mit einem Körper der Masse m betrachten. Hält man die Waage fest, so zeigt sie aufgrund der Gewichtskraft ein Gewicht an. Läßt man die Waage mit Körper fallen, zeigt sie während des Falls kein Gewicht mehr an, es wirken keine Kräfte. Leichter zu realisieren ist ein Versuch mit der Federwaage. In einem Aufzug, der sich nach unten bewegt, zeigt die Federwaage weniger Gewicht an, als in einem stehenden Aufzug. Die angezeigte Kraft ist natürlich nie null, da der Aufzug sich hoffentlich nicht im Freien Fall befindet.

Ein weiteres, schon diskutiertes Beispiel einer Bewegung, an der man das Kräftegleichgewicht untersuchen kann, ist die schiefe Ebene. Auf einen Körper der Masse m wirkt die Gewichtskraft

Längs der schiefen Ebene wird er nur mit der Komponente der Kraft beschleunigt, die in Richtung des schiefen Ebene liegt, also mit

Betrachten wir jetzt einen Wagen der steht, bei dem also die Haftreibung die Erdbeschleunigung kompensiert. Im Schwerpunkt des Körpers muß also eine zusätzliche Reibungskraft angreifen, die genau entgegengesetzt der Gewichtskraft ist:

Im statischen Gleichgewicht kompensiert eine zusätzliche äußere Kraft die Hangabtriebskraft

Es existiert also eine Scheinkraft

die im mitbewegten System die Hangabtriebskraft kompensiert. So ist der Körper im mitbewegten System in Ruhe.

Die wie in diesem Fall durch die Ebene in erzwungenen Bewegungen auftretenden Kräfte, die ein Körper auf der Bahn halten, nennt man Zwangskräfte. Andere Beispiele für diese Kräfte sind Schienen, die sich elastisch verformen, wenn ein Zug Kräfte auf sie ausübt, oder eine Person, die sich im Bus festhalten muß, wenn der Fahrer bremst. Anders als im oben diskutierten Fall stehen die Zwangskräfte immer senkrecht auf der Bahn, falls die Reibung vernachlässigt werden kann.