Betrachten wir zunächst als Beispiel einer beliebigen Bewegung den eindimensionalen Fall: die gradlinige Bewegung längs der x-Achse.
Der Ort des Massepunktes wird nur mit dem Skalar x beschrieben. Dargestellt werden soll die Bewegung des Massepunktes in seiner zeitlichen Abfolge. Dazu wählen wir ein
Ort-Zeit-Diagramm
.
Aufgetragen wird an der Abszisse die Zeit und an der Ordinate der Ort.
Merke: Bei Erstellen von Zeit - Diagrammen wird, soweit nicht anders vereinbart, die Zeit stets auf der Abszisse abgetragen. |
Der Weg wird vom Ausgangspunkt xo zur Zeit to an gemessen. Dabei ermittelt man verschiedene Wertepaare x1(t1), x2(t2) und so fort.
Nun überlegen wir, wie schnell der Massepunkt sich bewegt hat. Dazu betrachten wir zunächst zwei Bahnpunkte. Die Differenz der zwei Wegstrecken x1 und x2 ist die Entfernung, die der Massepunkt zurückgelegt hat. Er hat dazu die Zeit t2 - t1 gebraucht.
Wir definieren seine Geschwindigkeit als zurückgelegte Strecke pro dafür gebrauchter Zeit. Diese Geschwindigkeit ist abhängig vom Zeitintervall und der Strecke. Berechne ich die Geschwindigkeit für ein anderes Intervall, so erhalte ich auch eine andere Geschwindigkeit. Diese Tatsache ist bereits bekannt: Auf der Autobahn kann ich kurzfristig 150 km/h fahren, und brauche dennoch inklusive Stadtverkehr über eine Stunde, um von Aachen nach Köln zu gelangen. Aus diesem Grunde sprechen wir von einer mittleren Geschwindigkeit und bezeichnen sie mit vM.
Definition II.2: Die mittlere Geschwindigkeit ist der Quotient aus zurückgelegter Strecke und dafür benötigter Zeit:  |
Bedenke:
- Die mittlere Geschwindigkeit ist vom Messintervall abhängig. Die mittlere Geschwindigkeit von Punkt x0 nach x3 ist im Allgemeinen verschieden.
- Die mittlere Geschwindigkeit entspricht der Steigung der Sekante.
Notation II.5: Die Differenz zweier physikalischer Größen bezeichnet man abgekürzt mit D . |
Die Differenz zweier Strecken schreiben wir somit ab jetzt als D x, die der dazugehörigen Zeiten als D t. Mit dieser Konvention lautet die Gleichung 
.
Diese Form der Gleichung nennen wir Größengleichung. Sie gilt unabhänging von den benutzten Einheiten. Wenn die Einheiten sich ändern, ändern sich auch die Maßzahlen, die Gleichung bleibt aber erhalten
Bsp: 
Will man die Geschwindigkeit in einem Punkt berechnen, so muß man zunächst die Streckenintervalle immer weiter verkürzen, bis man ein infinitisimales Intervall betrachten kann. Hierzu bildet man den Grenzwert der Intervalle für eine Zeitdifferenz, die gegen Null strebt. 
Mit diesem Grenzwert berechnet man die Momentangeschwindigkeit. Sie entspricht der Steigung der Sekante durch zwei infinitisimal nebeneinander liegende Punkte, also der Steigung der Tangente.
Definition II.3: Die Momentangeschwindigkeit ist gleich der Steigung der Tangente an die Bahnkurve im ausgewählten Zeitpunkt  |
Achtung:
Diese Definition der Momentangeschwindigkeit ist mathematisch problemlos, physikalisch jedoch etwas problematischer:
1. Wie bereits in Kapitel I erläutert, lassen sich theoretisch zwar die statistischen Fehler minimieren, das setzt aber unendlich viele Messungen voraus.
2. Das Auflösevermögen der Messinstrumente ermöglicht nicht beliebig kleine Meßintervalle.
3. Es gibt eine prinzipielle Genauigkeitsgrenze. Eine genauere Erläuterung dieses Sachverhalts folgt in der Atomphysik.
Betrachtet man diese Definition im allgemeinen, d.h. 3-dimensionalen Fall, muß die Strecke x wieder als Vektor behandelt werden: 
. Für die Rechnung ergibt sich dann:
1. Richtung der Momentangeschwindigkeit: 
. Die Tangente an die Bahnkurve gibt die Steigung und somit die Richtung in jedem Punkt an.
2. Betrag der Momentangeschwindigkeit:
Richtung und Betrag der Momentangeschwindigkeit werden in einem Vektor zusammengefaßt:
Definition II.4: Die Geschwindigkeit ist ein Vektor, nämlich die Ableitung des Ortes nach der Zeit.  |
Notation II.6: Der Geschwindigkeitsvektor wird, soweit nicht anders vereinbart,  genannt, sein Betrag v. |
Die Geschwindigkeit kann also durch Differentation des Ortsvektors ermittelt werden. Die erste Ableitung des Ortes nach der Zeit ist die Geschwindigkeit. In der Physik wird die Schreibweise 
oftmals abgekürzt:
Notation II.7:  wird oftmals als  geschrieben, der Betrag v analog  . |
Analog kann man aus einer gegebenen Geschwindigkeit den Ort berechnen, indem man den Vektor 
integriert. Die Umkehroperation zu 
lautet folglich: 
.
Um über die Integration des Geschwindigkeitsvektors den Ort zu berechnen, muß also ein konstanter Faktor 
bekannt sein. Dieser Vektor kennzeichnet den Anfangsort der Bewegung, also die Verschiebung vom Nullpunkt des Bezugssystems. Durch geschicktes Definieren des Bezugssystems kann der Anfangsort in den Ursprung gelegt werden.
Merke: Die Geschwindigkeit eines Massepunktes läßt sich aus der Bahnkurve über
Differentation errechnen:  . |
Merke: Der Ort des Massepunktes läßt sich über Integration aus der Geschwindigkeitsgleichung und der Randbedingung  ermitteln:  . |
Um einen Überblick über die Größenordnungen verschiedener Geschwindigkeiten zu bekommen, finden Sie in dieser 
Tabelle einige interessante Geschwindigkeiten im Vergleich.
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