IX.2 Bernoullische Gleichung




   Versuch IXI.2: Statischer Druck

   Versuch IXI.3: Druckmesssonden

   Versuch IXI.4: Schwebender Styroporball




Die Druckdifferenz wurde zuerst von D. Bernoulli (1700 - 1782) berechnet. Seine Lösung ist als Bernoullische Gleichung bekannt; auch sie gilt nur für ideale, inkompressible Flüssigkeiten.

Um die Druckdifferenz D p = p2 - p1 berechnen zu können, betrachten wir wieder Volumenelemente einer Flüssigkeit in einem Schlauch mit sich verengendem Querschnitt. Zugleich wollen wir aber die Annahme fallenlassen, der Schweredruck sei vernachlässigbar. Wir setzen also voraus, der Schlauch steige um eine Höhe D h an. Der Schweredruck soll berücksichtigt werden.

Aus der Annahme der Inkompressibilität k = 0 können wir mit

dm = r dV

direkt angeben dV1 = dV2 =

Aus der Berechnung für die Kontinuitätsgleichung kennen wir die Gleichung

A1 ds1 = A2ds2

Stellen wir uns vor, die Volumenänderungen dV würden durch Kolben vorgenommen. Die Verschiebungsarbeiten, die geleistet werden, um die Volumen zu verändern, sind gegeben als Produkt aus aufgewendeter (konstanter) Kraft und zurückgelegter (gradliniger) Strecke:

dW1 = F1 ds1

Mit der Definition des Drucks als Kraft pro Fläche folgt

dW1 = p1 A1 ds1

und mit dV1 = A1 ds1 folgt
dW1 = p1 dV.

Analog gilt
dW2 = p2 dV

Wegen der Energieerhaltung muß die zusätzliche Geschwindigkeit, bzw. kinetische Energie dWk und die Höhe, bzw. potentielle Energie dWp von der geleisteten Arbeit dW1 aufgebracht werden:

dW1 =dW2 + dWp + dWk Energiesatz

Die potentielle Energie im Schwerefeld können wir direkt angeben mit

Û

Die kinetische Energie aufgrund der Strömungsgeschwindigkeit beträgt

Û

Einsetzen in die Gleichung der Energieerhaltung liefert:

p1dV = p2dV + r g (h2 - h1) dV + ½ r (v22 - v12) dV

Û
p1 + r g h1 + ½ r v12 = p2 + r g h2 + ½ r v22

Þ p + r g h + ½ r v2 = const


Merke: Für strömende, inkompressible und ideale Flüssigkeit gilt die Bernoulli- Gleichung: p + r g h + ½ r v2 = const.

Diese Gleichung gilt eigentlich nur für ideale Flüssigkeiten mit k = 0, ist aber häufig auch für reale Flüssigkeiten eine sehr gute Näherung, solange v, k und die innere Reibung nicht zu groß sind.

p gibt den hydrostatischen Druck an, also den Druck auf ein mitbewegtes Volumenelement.

r g h gibt den Schweredruck an.

r v2 gibt den hydrodynamischen Druck, auch "Staudruck" genannt, an.

Mit dem Schweredruck haben wir uns schon beschäftigt: r g h nimmt mit der Höhe zu, d.h. der hydrostatische Druck nimmt mit h ab.

Im Folgenden wollen wir den hydrodynamischen Druck, d.h. den Staudruck näher untersuchen. Da wir den Schweredruck bereits analysiert haben, setzen wir nun zur Vereinfachung den Höhenunterschied, den das Wasser überbrücken muß gleich null: D h = 0. Wir betrachten damit wieder ein Rohr, dessen Querschnitt sich ändert, analog zu den Betrachtungen von Seite . Bei dieser Untersuchung hatten wir festgestellt, daß die Querschnitte des durchflossenen Rohres umgekehrt proportional sind zu den Strömungsgeschwindigkeiten.

Aus der Bernoulli-Gleichung

folgt mit D h = 0

Betrachten wir ein Rohr mit dem Durchschnitt A1, in dem eine Flüssigkeit mit der Strömungsgeschwindigkeit v1 fließt. Dann herrscht dort ein hydrostatischer Druck p1. An dieser Stelle des Rohres gilt nach Bernoulli

In einem engeren Stück des Rohres nimmt die Geschwindigkeit zu. Hier gilt

Insgesamt gilt dann für das Verhältnis der beiden Gesamtdrucke

Û

Mit v1 > v2 gilt

Daraus folgt

Û

An der Einschnürung eines von einer Flüssigkeit durchflossenen Rohres nimmt der hydrostatische Druck p also ab.


Merke: Der Querschnitt eines Rohres und die Geschwindigkeit einer darin strömenden Flüssigkeit sind umgekehrt proportional.

Der Querschnitt eines Rohres und der hydrostatische Druck einer darin strömenden Flüssigkeit sind proportional.

Zu diesem Phänomen können einige Versuche betrachtet werden:

Versuch IX.2: Statischer Druck

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Ziel dieses Versuches ist es, qualitativ zu bewahrheiten, daß bei einer Querschnittsverjüngung eines Rohres der hydrostatische Druck abnimmt. Hierzu betrachten wir folgenden Versuchsaufbau: Drei Röhrchen mit gleichem Durchmesser sind senkrecht auf einem dickeren Röhrchen befestigt, wobei eine Verbindung zum waagerechten Rohr besteht. Nun wird das waagerechte Rohr mit einem Schlauch verbunden und mit Wasser gefüllt. Trennt man dann die Wasserversorgung ab, ruht also die Flüssigkeit in dem Rohr, so steht die Flüssigkeit in allen drei Röhrchen gleich hoch.

Dann wird der Schlauch wieder angeschlossen und das Wasser strömt. Man kann beobachten, daß die Wassersäule im ersten Röhrchen höher steht als im zweiten, und in diesem wiederum höher als im dritten. Offensichtlich findet ein Druckabfall statt, obwohl keine Querschnittsverengung des Rohres existiert. Der lineare Druckabfall rührt offensichtlich von einer Art Reibung her, die im Innern der Flüssigkeit stattfinden muß. Diese Beobachtung werden wir später gesondert untersuchen. Zunächst markieren wir die soermittelte Steighöhe in jedem Röhrchen. Die Verbindung der Höhenmarkierungen führt zu einer Graden.

Nun verwenden wir einen anderen Versuchsaufbau, der nur durch eine Querschnittsverjüngung des waagerechten Rohres unterhalb des mittleren Röhrchens von dem ersten abweicht. Lassen wir nun Wasser durch das Rohr strömen, so sehen wir, daß im mittleren Rohr der niedrigste Pegel angezeigt wird. Die zuvor ermittelte Grade, die den Druckabfall durch Reibung angibt, zeigt, daß Rohr 1 und Rohr 3 denselben hydrostatischen Druck haben, nur bei der Verringerung des Querschnitts sinkt die Wassersäule.

Analog kann man ein Rohr verwenden, das in der Mitte einen größeren Querschnitt hat, als an den Seiten. Dann steigt das Wasser in der Mitte höher.

Um die verschiedenen Druck zu messen, die in einer strömenden Flüssigkeit herrschen, kann man verschiedene Druckmeßsonden verwenden. Mithilfe dieser Druckmeßsonden versuchen wir nun, die Druckverhältnisse experimentell zu bestimmen:


Versuch IX.3: Druckmeßsonden

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Zunächst betrachten wir noch einmal die Strömung durch ein horizontales Rohr mit Verengung. Wir hatten qualitativ ermittelt, daß der hydrostatische Druck in der Taille des Rohres am kleinsten sein muß, da die Strömungsgeschwindigkeit dort am größten ist. Um dies nun auch quantitativ zu messen, benutzen wir eine sogenannte Venturi - Düse. (Bild d) Diese Düse mißt die Durchflußrate. Die Messung der Druckdifferenz vor und in der Verengung genügt uns, um die Strömungsgeschwindigkeit berechnen zu können:



Aus

folgt mit v1A1 = v2 A2
p1 - p2 = r v12 (

und damit gilt für die Geschwindigkeit

v1 = .


Eine andere Möglichkeit, den hydrostatischen Druck zu messen, bietet die Sonde in Bild a. Mit dieser Sonde kann der statische Druck des vorbeiströmenden Mediums gemessen werden. Wenn der Außendruck p0 bekannt ist, berechnet sich aus der Höhendifferenz der beiden Wassersäulen mit
p = p0 + r Fl g h

der hydrostatische Druck p.




Mit Hilfe des Pilot Rohres (Bild b) mißt man den Druck im Staugebiet. Die Öffnung der Sonde ist vorn, wo die Stauung eintritt, so daß dort die Strömungsgeschwindigkeit v1 = 0 herrscht.

Aus

folgt mit v1 = 0
.

Der hydrostatische Druck p1 in der Sonde ist damit

.



Mit dieser Sonde kann man den Gesamtdruck messen.



Eine Messung des Staudrucks kann man mit dem Praudtl'sches Staurohr (Bild c) vornehmen. Diese Sonde ist eine Kombination aus Sonde a und b. Hiermit mißt man den Staudruck

.

Mit dieser Gleichung kann man dann die Strömungsgeschwindigkeit berechnen:

.

 




Diese Eigenschaften strömender Flüssigkeiten und Gase macht man sich bei verschiedenen Anwendungen zu nutze. Bei einem Zerstäuber wird mit Hilfe des Unterdrucks eine Flüssigkeit aus einem Behälter hochgehoben.

Dieses Prinzip wird in großem Umfang bei Wasserstrahlpumpen verwandt: Ein Wasserstrahl fließt hierbei durch eine Verengung und erzeugt damit einen Unterdruck. Von diesem Unterdruck angesaugt, steigt eine Flüssigkeit oder ein Gas aus einem Behälter nach oben. Wendet man dieses Prinzip auf ein mit Gas gefülltes Gefäß an, so erhält man eine einfache Vakuumpumpe.


Versuch IX.4: Schwebender Styroporball

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Durch Unterdruck kann man auch Körper in strömenden Gasen stabilisieren. Bei unserem Versuch wird ein Styroporball in den Luftstrahl eines Gebläses gebracht.

Der Styroporball wird im Luftstrahl durch Unterdruck stabilisiert da der Luftdruck p2, an der Stelle, an der sich die Luft unterhalb der Kugel staut, kleiner ist als der der vorbeifließenden Luft. So entsteht durch den Unterdruck eine Gleichgewichtslage, in die der Ball auch nach einer Ablenkung zurück fliegt. Auch in einem geneigten Luftstrom wird der Ball noch gehalten.


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