IIX.6 Barometrische Höhenformel




Bisher haben wir nur den Schweredruck von Flüssigkeiten berechnet. Dabei gingen wir davon aus, daß die Dichte von Flüssigkeiten als konstant angenommen werden kann. Diese Annahme ist allerdings für große Tiefen falsch. Begründet hatten wir diese Einschränkung damit, daß Flüssigkeiten praktisch inkompressibel sind. Wie wir gesehen haben, sind Gase jedoch nicht inkompressibel. Wir müssen deshalb die Dichte in Gasen als nicht konstant ansehen. Für den Schweredruck der Luft unserer Erde folgt daraus, daß höhere Luftschichten die unteren zusammen drücken. Die Luftdicht ist deshalb eine Funktion der Höhe.

Betrachten wir nun eine unendlich dünne Luftschicht der Höhe dh In dieser unendlich dünnen Schicht können wir die Dichte als konstant voraussetzen. Bei konstanter Dichte r ändert sich der Druck dp wie bei Flüssigkeiten:
dp = - r g d h

Die Höhe h soll dabei nach oben positiv gemessen werden.

Daraus folgt für die Höhe

.

Ferner gehen wir davon aus, daß die Temperatur in allen Luftschichten konstant sein soll. Diese Annahme ist für große Höhen, wie wir bereits wissen, falsch. Auch die Masse des Gases soll als konstant angenommen werden. Aus dem Boyleschen Gesetz wissen, wir , daß

p × V = const gilt.

Mit

folgt

und mit konstanter Masse m

Û

p0 und r 0 bezeichnen dabei z.B. Dichte und Druck der Luft an der Erdoberfläche.

Damit folgt für die Dicke der Luftschicht dh

Durch Integration folgt dann für eine beliebige Höhe

Û h = - (ln p(h) - ln p0)

Û h = - ln

Þ p(h) = p0 exp

Diese Formel gibt den Luftdruck in Abhängigkeit von der Höhe an. Es ist wichtig, zu beachten, daß diese Formel hergeleitet wurde unter der Annahme, daß Temperatur und Masse der Luft konstant sind. Die unter dem Namen Barometrische Höhenformel bekannte Formel stellt deshalb eine Idealisierung dar.


Die Barometrische Höhenformel gibt den Luftdruck in Abhängigkeit von der Höhe an.

p(h) = p0 exp


Als Beispiel berechnen wir den Luftdruck, der in acht Kilometer Höhe herrscht. Die Dichte der Luftschicht nehmen wir mit
r 0 = 1.29 kg/m3 an, der Druck an der Erdoberfläche sei p0 = 1.013 bar. Dann ist der Luftdruck in acht Kilometern Höhe
8 km

Daraus folgt
p(h) = p0 e-h/8 km

Für h = 8 km
p (8 km) @

Für h = 5,5 km gilt
p (5,5 km) @

In einer Höhe von 5,5 Kilometern haben wir also noch ungefähr die Hälfte des Luftdruck von dem an der Erdoberfläche herrschenden Luftdrucks.

Diese Abbildung zeigt den Verlauf des Schweredrucks in Wasser und in Luft. Man sieht, daß im Wasser das Volumen als konstant angenommen wird.

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