VI.9   Drehung um bewegliche Achsen



Versuch VI.9: Auf seiner Spitze gelagerter Kreisel

Versuch VI.10: Überkopfkreisel

Versuch VI.11: Kreiselkompass

Versuch VI.12: Kardanisch aufgehängter Kreisel

Versuch VI.13: Kugelkreisel auf Luftkissen

Versuch VI.14: Präzession einer Fahrradfelge



Bisher haben wir nur Rotationsbewegungen betrachtet, bei denen das Drehmoment parallel zur Drehachse war. War dies nicht gewährleistet, konnten wir nur die Komponente von betrachten, die in Richtung der Drehachse zeigte.


Versuch VI.9: Auf seiner Spitze gelagerter Kreisel

Ein einfaches Beispiel ist der Kreisel, der senkrecht steht und sich um seine Symmetrieachse dreht. Verliert der Kreisel aber durch Reibung an Energie, so führt er eine kompliziertere Bewegung aus. Man kann beobachten, daß ein Kreisel dann aus der senkrechten Anfangslage kippt und sich um sich selbst dreht, wobei die Achse des Kreisels zusätzlich einen Kreis beschreibt. Diese Bewegung ist mit unseren Mitteln nicht mehr zu beschreiben.

Es gibt viele Beispiele für kompliziertere Kreiselbewegungen:


Versuch VI.10: Überkopf - Kreisel

Es gibt Kreisel, die zunächst mit senkrechter Achse rotieren, dann aber plötzlich umkippen und auf dem Kopf weiter drehen.


Versuch VI.11: Kreiselkompass





Rotationsbewegungen kann man sich in der Technik zunutze machen. Ein Beispiel ist der Kreiselkompass. Der Kompass kann einmal in eine Richtung ausgerichtet werden, dann behält er diese Ausrichtung bei, auch wenn das äußere Gestänge bewegt wird. Grundprinzip dieses Kompasses ist die sogenannte kardanische Aufhängung.








Versuch VI.12: Kardanisch aufgehängter Kreisel

Betrachten wir einen anderen Aufbau: Eine Scheibe wird so in einem Ring befestigt, daß sie in einer Ebene senkrecht zum Boden frei rotieren kann. Dieser Ring ist fest mit einer Stange verbunden, die ihrerseits zum Erdboden geneigt werden kann. Sie ist mit einem Gewicht so justiert, daß sie senkrecht zum Erdboden steht. Eine zweite Stange vom Boden zur Stange mit dem Ring kann reibungsfrei um ihre eigene Achse rotieren, bleibt dabei aber immer senkrecht zum Erdboden. Stellt man alle Stangen im rechten Winkel zueinander ein und dreht das Rad an, so kann die Stange danach frei im Raum ausgerichtet werden, ohne daß sie wieder in die Ausgangslage zurückfällt. Hängt man ein weiteres Gewichtsstück an das dem Rad gegenüberliegende Ende der Stange, so beginnt die Stange sich in Horizontalebene zu drehen.


Wie kann man die in diesen Versuchen beobachteten Bewegungen beschreiben




Offensichtlich müssen wir von der bisherigen Einschränkung abweichen, das Drehmoment sei parallel zur Drehachse (Abbildung VI.27). Damit sind die bisherigen Beziehungen für den idealen kräftefreien Kreisel ( und parallel zu und zur Symmetrieachse) nicht mehr gültig. Wir müssen jetzt Achsen betrachten, deren Richtung sich ändert. Das Drehmoment ist nicht null (), da der Kreisel nicht im Schwerpunkt aufgehängt ist







Zerlegen wir das Drehmoment in Komponenten parallel zur Drehachse und senkrecht dazu, so können wir die Bewegung aufgrund des parallelen Anteils des Drehmomentes mit dem bisher Erarbeiteten sofort angeben. Welche Wirkung aber haben Komponenten von senkrecht zur Drehachse ?








Diese Abbildung zeigt einen Kreisel, der sich mit w um die Figurenachse (Z0) dreht, und auf den ein Drehmoment wirkt, das nicht verschwindet. Hierdurch ist der Drehimpuls nicht mehr zeitlich konstant, denn aus

folgt mit

Þ const.

Allgemein gilt

.

Steht das Drehmoment senkrecht zum Drehimpuls ist die Änderung ebenfalls senkrecht zu .

Das wirkende Drehmoment ist auf das im Schwerpunkt C wirkende Gewicht des Kreisels zurückzuführen und ist gleich dem Vektorprodukt Dies bedeutet, daß das Drehmoment senkrecht zu den Achsen Z und Z0 ist und somit auch zu . Sein Betrag ist

mit dem Winkel f zwischen Z und Z0 und b = .

Unter Wirkung des Drehmomentes präzidiert die Figurenachse Z0 um die Achse Z mit der Winkelgeschwindigkeit w p. Das Ergebnis der Gleichung lautet

d.h. d zeigt in die Richtung des Drehmoments .

Im Folgenden soll die Präzessionsfrequenz berechnet werden. Allgemein gilt

Die geometrische Betrachtung der Abbildung zeigt die Beziehung:

mit

Þ

wenn eine Näherung für keine Winkel betrachtet werden soll.

Þ

Û

Û

mit

Û

Benennt man nun das Trägheitsmoment Mgb als t , dann lautet die Formel

wobei I das Trägheitsmoment um die Figurenachse des Kreisels und w die Winkelgeschwindigkeit des Kreisels ist.

Diese Formel zeigt, daß der Kreisel schnell präzediert, wenn das Drehmoment t = Mgb groß ist und langsam, wenn der Drehimpuls groß ist. Seine Stabilität gegenüber einwirkenden Drehmomenten ist also um so größer, je größer das Trägheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeit sind. Die Richtungen von bilden ein Rechtssystem.

In Vektorschreibweise gilt deshalb

oder


Merke: Die Winkelgeschwindigkeit der Präzession berechnet sich vektoriell aus  bzw.  .

Um diese Überlegung zu verifizieren betrachten wir zwei Versuche:


Versuch VI.13: Kugelkreisel auf Luftkissen

Bei diesem Versuch wird eine schwere eiserne Kugel mit einer herausschauenden Achse in einer Schale auf einem Luftkissen möglichst reibungsfrei gelagert. Die Kugel wird mit Hilfe einer Schleifmaschine in Rotation versetzt. Zunächst steht die Achse der Kugel senkrecht nach oben. Ist die Kugel so in Rotation versetzt worden, kann man danach die Achse beliebig ausrichten, die Richtung der Achse bleibt erhalten. Hängt man hingegen ein Gewicht an die Achse, so führt die Kugel eine Präzessionsbewegung aus. Sie präzediert um so schneller, je größer die angehängte Masse ist. Nach kurzer Zeit verliert die Kugel trotz Luftkissen durch Reibung Energie. Der Drehimpuls wird dadurch verringert und die Präzession schneller.

Dieser Versuch zeigt, daß die Präzessionsfrequenz nicht vom Winkel, wohl aber von der Masse abhängt.


Versuch VI.14: Präzession einer Fahrradfelge

Bei diesem Versuch wird eine Fahrradfelge an einem Stab befestigt. Der Stab wiederum ist an einem Seil befestigt, welches festgehalten wird. Wird die Felge in Rotation versetzt, so stellt sie sich auf, bis sie im rechten Winkel zur Erde steht. In dieser Lage rotiert die Felge mit dem Stab um den Aufhängepunkt.

Die Erklärung kann aus der Zeichnung abgelesen werden: Die Vektoren und bewirken ein Drehmoment. zeigt in die Richtung von in die Zeichenebene hinein.

Die Präzessionsfrequenz kann wie oben berechnet werden als:

Die Richtung von w p kehrt sich um, wenn L umgedreht wird.


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