VI.14   Rotierende Bezugssysteme und Trägheitskräfte



Versuch VI.17: Schuß auf rotierender Scheibe

Versuch VI.18: Foucaultscher Pendelversuch



Bisher hatten wir die Erde als Bezugssystem vieler Bewegungen betrachtet. Dabei gingen wir davon aus, daß die Erde ein Inertialsystem ist. Das diese Annahme eine Vereinfachung darstellte, war bereits bekannt. Die Aufstellung der Kräfte nach Newton haben wir mit angegeben, als mögliche Kräfte betrachteten wir Gravitation, Federkräfte oder andere Zwangskräfte. Diese Formel muß korrekterweise noch um jene Kräfte erweitert werden, die durch die Rotation der Erde entstehen. Eine Kraft, die aus der Rotation entsteht ist die Zentrifugalkraft. Bei der Geschwindigkeit, mit der die Erde sich dreht, kann diese Kraft für die meisten Berechnungen vernachlässigt werden. Dennoch ändert sie die resultierende Kraft meßbar: Die Differenz der Gravitationskraft z.B. beträgt zwischen dem Äquator und den Polen 3 Promill. Zusätzlich zu der Zentrifugalkraft tritt eine neue Trägheitskraft bzw. Scheinkraft, die der mitbewegte Beobachter registriert. Es ist die Corioliskraft.

Im Folgenden soll die Corioliskraft hergeleitet werden aus einer Rotation des Koordinatensystems. Bei dieser Herleitung können wir leider auf eine etwas kompliziertere mathematische Betrachtung nicht verzichten. Die Herleitung selber zu kennen ist weniger wichtig, als zu erkennen, daß nur aus der Drehung des Bezugssystems die Corioliskraft herzuleiten ist. Das Vorgehen ist uns schon aus der Galileitransformation bekannt und kann auch hier rein formal durchgeführt werden.




Gegenüber einem Inertialsystem S drehe sich das System S' mit einer konstanten Winkel-geschwindigkeit w um die z-Achse. Beide Systeme haben denselben Ursprung.

Um die Rechnung zu vereinfachen, möchte ich zunächst einige Konventionen zur Schreibweise einführen:

Zeitliche Ableitungen im System S werden wie bisher üblich mit einem Punkt gekennzeichnet. Insbesondere gilt und . Die Geschwindigkeit im System S sei , der Weg .

Zeitliche Ableitungen im System S' werden mit gekennzeichnet. Insbesondere gilt . Die Geschwindigkeit im System S' sei , der Weg .




1. Schritt: Wie groß ist die Geschwindigkeit des Punktes A im System S, wenn A sich im System S' mit der Geschwindigkeit bewegt

Für eine Geschwindigkeit = 0 gilt für einen Beobachter in S

.

Mit

und

folgt

Hat der Punkt A eine Geschwindigkeit in S', so muß diese in S zu addiert werden. Damit gilt allgemein

¬

und mit

. ­

2. Schritt: Wie sieht die Beschleunigung des Punktes A in S' im System S aus

Aus der Mechanik ist der Zusammenhangbekannt.

Damit folgt aus Gleichung ¬

da ist, gilt

.

Mit ­ folgt daraus

Û ®

3. Schritt: Was ist

Ebenso, wie für die Transformation des Vektors von S' nach S gilt für jeden

beliebigen Vektor

Somit ist

¯

¯ eingesetzt in ® ergibt

.

Zusammengefaßt gilt

.

4. Schritt: Was bedeutet diese Gleichung

Die Beschleunigung setzt sich offensichtlich aus drei Termen zusammen:

1.    Dieser Term gibt die Beschleunigung von Punkt A in System S' an.

2.    Dieser Term ist Ausdruck der Coriolisbeschleunigung. Jetzt können wir mit der Formel F = ma auch die Corioliskraft angeben: .

3.    Dieser Vektor steht senkrecht auf , sein Betrag ist . Für , also HEIGHT=17>, ergibt sich aus dieser Beschleunigung die Kraft . Diese Formel kennen wir als Zentrifugalkraft.

Jetzt haben wir eine Formel für die Corioliskraft hergeleitet und zudem eine Gleichung für alle in einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierenden System herrschenden Kräfte aufgestellt.


Merke: Die Corioliskraft steht immer senkrecht auf der Relativgeschwindigkeit im rotierenden Bezugssystem.


Merke: Im rotierenden Bezugssystem gilt die Newtonsche Grundgleichung:.

Daß die Corioliskraft nicht immer vernachlässigbar ist, ist bereits aus der Geographie bekannt. Beim Wetter wirkt diese Kraft erheblich auf die Bildung von Luftströmen.

Betrachten wir jetzt einige einfache Beispiele für die auftretenden Kräfte in rotierenden Systemen:

Um die Bewegung eines Körpers aus den verschiedenen Blickwinkeln, aus dem rotierenden Bezugssytem und aus einem Inertialsystem, qualitativ zu erfassen, betrachten wir zunächst ein Gedankenexperiment:

Für dieses Experiment bräuchten wir zwei Physiker, einen Ball und eine große rotierende Scheibe. Zunächst stehen beide Physiker einander zugewandt auf der Scheibe, einer stehe im Mittelpunkt, der andere am Rand. Sie werfen sich den Ball zu. Ein beobachtender Student im Inertialsystem sieht, daß der Ball linear nach außen fliegt, der zweite Physiker ihn allerdings verpasst, da er sich inzwischen nach links weiter gedreht hat.

Nun stellt sich auch der Beobachter auf die Scheibe. Wird der Ball erneut von der Mitte nach außen geworfen, sieht der Beobachter eine andere Bahn: Der Beobachter ist relativ zum System, in dem der Ball geworfen wird, in Ruhe, der Ball scheint nach rechts abgelenkt zu werden. Die Scheinkraft, die den Ball auf einer parabelförmigen Bahn erscheinen läßt, ist die Corioliskraft.

Einen ähnlichen Versuch führen wir durch:


Versuch VI.17: Schuß auf rotierender Scheibe

Bei diesem Versuch wird eine Person auf einen Drehstuhl gesetzt. An dem Stuhl ist eine Stange waagerecht zum Boden angebracht; an deren Ende befindet sich eine gewölbte Plexiglasscheibe. Die Person schießt jetzt mit einem Pfeil längs der Verbindungsstange auf die Scheibe. Dieser Versuch ist analog zum Gedankenexperiment aufgebaut: Der Physiker in der Mitte des Kreises wirft keinen Ball sondern einen Pfeil. Um die Abweichung genauer bestimmen zu können wird nicht ein punktueller Fänger am Rand des Kreises aufgestellt, sondern eine Scheibe. Wenn man auf dieser Scheibe in Ruhe den Punkt 0 der Verbindungsgraden zur Person markiert, kann nach dem Schuß die Abweichung exakt gemessen werden. Qualitativ sieht der Beobachter im Vorlesungssaal, also in einem Inertialsystem, daß die Markierung sich vom Auftreffpunkt wegdreht. Im Stand trifft die Versuchsperson die markierte Mitte 0, je schneller sie sich dreht, desto weiter weicht die Auftreffstelle A des Pfeils davon ab.

Über die geometrische Betrachtung der Bewegung kann die Coriolisbeschleunigung hergeleitet, bzw. bei bekannten Parametern errechnet werden. Dabei müssen wir beachten, daß der Pfeil nicht direkt von der Mitte des Kreises aus abgeschossen wird, sondern aus einer Armlänge rA Entfernung davon.

Das rotierende System nennen wir S', das Inertialsystem S. S' rotiere gegen S mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit .

Ohne Drehung wird der Pfeil mit der Geschwindigkeit von x = rA bei t = 0 abgeschossen. Er kommt bei Punkt B, dem Mittelpunkt der Scheibe, an nach einer Zeit t. Aus der Kinematik kennen wir die Beziehung für t

. ¬

Nun wird die Bewegung mit Drehung vom Inertialsystem aus betrachtet:

Die Kugel hat beim Verlassen des Laufes bei A die Geschwindigkeit , für die gilt

Es addiert sich die Geschwindigkeit der Laufmündung.

Der Pfeil kommt im Abstand SK von Punkt B aus an.

SK = vA× t = w rA t

Die geometrische Betrachtung der Skizze zeigt, daß der Abstand SK der Strecke SA entspricht.

Betrachtet man denselben Vorgang vom rotierenden System aus gesehen, so hat sich nach der Zeit t hat der Punkt A nach A' und B nach B' bewegt. Die Wege der Punkte A und B sind verschieden:

SA = vA t

mit v = rw +Û SA = w rA t = SK

SB = vB t

Û SB = w rB t

Vom mitgedrehten Beobachter aus gesehen gilt für die Streckendifferenz S'

S' = - (SB - SK)

mit den Ergebnissen von oben

Û S' = - w (rB - rA)t

Dann gilt mit ¬

S' = - w v t2. ­

Mit der allgemeinen Berechnung der Beschleunigung

gilt, ergibt sich aus ­

a = ®

Diese Beschleunigung ist die Coriolisbeschleunigung in einem rotierenden Bezugssystem.

Die so ermittelte Formel ist in Einklang mit der allgemein hergeleiteten, wenn man die Anfangsgeschwindigkeit im bewegten System setzt und beachtet, daß

ist.


Wie bereits erwähnt, spielt die Corioliskraft auch auf der Erde aufgrund der Eigenrotation eine große Rolle. Hier ist sie vorallem bei dem Verständnis des Wetters ein wichtiger Faktor, der betrachtet werden muß. Betrachtet man die Zyklone der beiden Halbkugeln von einem Satelliten, also einem Inertialsystem, aus, so drehen die Zyklonen sich auf der Südhalbkugel rechts herum, auf der Nordhalbkugel dagegen links herum. Würde die Erde sich nicht drehen, so müßten die Winde gradlinig in das Tiefdruckgebiet in der Mitte hineinlaufen. Die Beobachtung der abgelenkten Ströme ist deshalb ein weiterer Beweis für die Rotation der Erde.


Versuch VI.18: Foucaultscher Pendelversuch

Ein anderer Nachweis zur Erdrotation ist der Foucaultsche Pendelversuch. Grundprinzip dieses Versuches ist es, mit einem einfachen Pendel die Erdrotation nachzuweisen. Dabei schwingt ein Pendel von einem Aufhängepunkt A in einer Pendelebene senkrecht zum Boden. Durch die Erdrotation dreht sich der Boden unter dem Pendel weg, dessen Ausrichtung senkrecht zum Fixsternhimmel erhalten bleibt, da es keine Kräfte gibt, die senkrecht zur Pendelebene auf das Pendel wirken.

Um den Versuch quantitativ auswerten zu können, wird in der Gleichgewichtslage des Pendels der Faden über eine optische Anordnung vergrößert an die Wand projiziert. Dann lenkt man das Pendel aus und justiert es so, daß das Bild des Fadens wieder exakt denselben Strich darstellt. So ist die Pendelebene senkrecht zum Boden und senkrecht zur Wand justiert. Läßt man nun das Pendel schwingen, dreht sich für die mitbewegten Beobachter die Pendelebene im Uhrzeigersinn und ist dann nicht mehr senkrecht zur Wand. Tatsächlich kann man das Bild des Fadens schon nach wenigen Schwingungen deutlich die Wand entlang wandern sehen.

Um die Bewegung zu berechnen müssen wir zunächst die Winkelgeschwindigkeit der Erde in 2 Komponenten aufteilen.

Die Vertikalkomponente ist dann w sinb ; wobei b die geographische Breite ist.

Diese Vertikalkomponente erzeugt Corioliskräfte, die in die waagerechte Ebene fallen und so die beobachtete Seitenablenkung des Pendels bewirkt.

Die Horizontalkomponente w sinb bewirkt eine Änderung der Schwerkraft. Auf der Nordhalbkugel erfolgt die Drehung gegen den Uhrzeigersinn: Die Corioliskräfte zeigen immer nach rechts. Das Pendel schwingt wie erläutert also nicht in einer Ebene.

Die approximative Ebene dreht sich, d.h. die Erde dreht sich unter der Pendelebene weg. Das ist für den Nordpol sofort einsichtig.

a sei der Drehungswinkel für eine Schwingung. r sei die Schwingungsweite Dann gilt für die Bogenlänge die geometrische Beziehung

Andererseits ist

a = T w sin b

Insgesamt folgt dann

sin b

Im Vorlesungsversuch wurde bei der Projektion ein als bekannt vorausgesetzter Vergrößerungsfaktor benutzt. Aus

w sin b =

kann z.B. der Längengrad in Aachen bestimmt werden. Der Erwartungswert für Aachen ist

b = 50 0 44


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