V.3 Drehmoment und Drehimpuls




Für gradlinige Bewegungen hatten wir das zweite Newtonsche Axiom kennengelernt als


2. Newtonsches Axiom .

Daraus hatten wir abgeleitet, daß in einem abgeschlossenen System, in dem der Impuls konstant ist, die resultierende der äußeren Kräfte null sein muß.

Dieses Gesetz soll im Folgenden auf Rotationen übertragen werden. Dazu betrachten wir zunächst die Definition der Kraft und des Impulses.


V.3.1 Übertragung des Kraftbegriffes

Als erstes Beispiel einer nicht-linearen Bewegung hatten wir das Pendel kennengelernt. Auf das Pendel wirken Fadenspannkraft und Gravitationskraft. Die Komponente der Gravitationskraft, die entlang des Fadens wirkt, wird durch die Fadenspannkraft kompensiert; für die Bewegung wichtig ist also allein die Komponente senkrecht zum Faden. Wir hatten diese Komponente als

errechnet.

Ein anderes Beispiel sind die Hebelgesetze. Hier wissen wir, daß nur das Produkt aus Hebel-arm und der Kraftkomponente senkrecht zum Hebelarm für eine Drehung wirksam sind. Zieht man mit einer Kraft unter einem beliebigen Winkel j 1 zum Hebel ein Ende des Hebels nach unten, so bewirkt nur die Kraftkomponente senkrecht zum Hebel eine Drehung, die andere Komponente wird analog zum Pendel durch die Zwangskraft des Hebels kompensiert. Diese Komponente kann direkt abgelesen werden als

Analog wirke auf der zweiten Seite

des Hebels die Kraft F2unter einem Winkel j 2 .

Gleichgewicht herrscht, wenn das Produkt aus wirksamer Kraft und Hebelarm gleich ist, also

.

Allgemein kann man schließen, daß die eine Rotation bewirkende Kraftkomponente einer unter dem Winkel j angreifenden Kraft die Form hat

.

Wie die Kraft selbst, ist auch diese Größe eine Vektorgröße. Ändert man die Richtung der angreifenden Kraft, also den Winkel, oder die Richtung des Vektors , so ändert sich auch die Richtung von M. Wie in Kapitel II gezeigt, nutzt man zur Beschreibung eines Vektors, der seinerseits Produkt zweier Vektoren ist, das Vektor-, bzw. Kreuzprodukt. Damit können wir die Größe M vektoriell definieren als

= x .

Dieses Übertragung des Kraftbegriffes auf die Rotation nennen wir Drehmoment.


Definition V.6: Das Drehmoment ist eine Vektorgröße, es steht senkrecht auf der Ebene, die durch und aufgespannt wird:= x . Sein Betrag ist .


Die Definition des Kreuzproduktes besagt, daß das Drehmoment immer senkrecht aus Kraftvektor und Radius der Kreisbewegung stehen muß.

Wird z.B. eine Masse an einem Faden befestigt, der Faden im Ursprung eines Koordinatensystems festgehalten wird, so zeigt in Richtung der Drehachse. Dies gilt aber nur für dieses spezielle Beispiel,

die allgemeine Richtung von muß für jede Bewegung neu untersucht werden.

Einheitenbetrachtung:

[t ] = [r] [F] = 1 Newton-Meter = 1Nm

V.3.2 Übertragung des Impulsbegriffes

Wir wollen nun eine Erhaltungsgröße analog zum Impuls für die Rotation definieren. Hierfür setzen wir versuchsweise analog zu der Übertragung des Drehmomentes = x .

Diese Größe nennt man Drehimpuls, sie steht senkrecht auf dem Radiusvektor und dem Impuls und damit auf der Geschwindigkeit des Massepunktes.

Wir definieren diese Größe unter Vorbehalt und überprüfen danach, ob mit ihr das zweite Newtonsche Axiom erfüllt ist.


Definition V.7: Der Drehimpulsist eine Vektorgröße, er steht senkrecht auf der Ebene, die durch und aufgespannt wird:= x . Sein Betrag ist .

Einheitenbetrachtung:

[L] = [r] [p] = 1. Mit 1 N = folgt [L] = 1 Nms.


Bei der oben diskutierten Drehbewegung eines Massepunktes an einem Faden steht der Impuls senkrecht auf dem Radius und der Drehimpuls zeigt in Richtung der Drehachse.


V.3.3 Formulierung des 2. Newtonschen Axioms für die Rotation

Wir versuchen jetzt, das zweite Newtonsche Axiom mit den neu definierten Größen zu formulieren.

Aus
= x

folgt mit
= x
.

Û =( x ).

Die Änderung des Drehimpulses mit der Zeit läßt sich über Differentation berechnen:

Û .

Wegen
Û .

Mit
Þ .


Merke: Die zeitliche Änderung des Drehimpulses mit der Zeit entspricht dem wirkenden Drehmoment:.

Diesen Sachverhalt kann man nun analog zur gradlinige Bewegung interpretieren als die Tatsache, daß ein Drehmoment, das auf einen Körper angewandt wird, eine Änderung des Drehimpulses bewirkt. Wirkt in einem abgeschlossenen System kein resultierendes Drehmoment, so ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße.


Satz von der Drehimpulserhaltung:

Wirkt in einem abgeschlossenen System kein resultierendes Drehmoment, so ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße:Þ


Diese Erhaltungsgröße hat seinen Grund in der Invarianz der Naturgesetze gegen Drehungen im Raum. Er spielt eine sehr wichtige Rolle in der Physik, besonders in der Atom- und in der Kernphysik.

Greift z.B. eine Kraft im Schwerpunkt eines rotierenden Teilchens an, so ist der Drehimpuls erhalten, obwohl eine Kraft einwirkt. Dies kann man so erklären, daß die Kraft parallel zum Radiusvektor der Kreisbewegung steht und das aus der Kraft resultierende Drehmoment deshalb null ist.

Þ Þ .

V.3.4 Zusammenfassung der wichtigsten Vektorgrößen der Rotation


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