V.2 Die Fliehkraft

      Dynamik der Kreisbewegung



V.2.1 Untersuchung der Fliehkraft

Im Folgenden wollen wir untersuchen, welche Kraft die Masse auf der Kreisbahn hält. Die oben errechnete Radialbeschleunigung

wird durch eine Zwangskraft hervorgerufen. Diese Zwangskraft kann z.B. die Fadenspannung oder die Schienenführung bei einem Zug sein. Nach Newton kann man diese Kraft schreiben als .


Definition V.4: Die zum Kreismittelpunkt hin gerichtete Kraft, die durch die Radialbeschleunigung hervorgerufen wird, nennt man Zentripetalkraft .


Merke: Dieses ist die einzige wirklich existierende Kraft im Sinne des 2. Newtonschen Axioms, d.h. in einem Inertialsystem.

Im Sinne des d'Alembertschen Prinzips spürt man im mitbewegten System, das kein Inertialsystem ist, eine Scheinkraft, die der realen Kraft, der Zentripetalkraft , entgegengerichtet gleich groß ist. Diese Kraft erzeugt im mitbewegten System ein scheinbares dynamisches Gleichgewicht, der mitbewegte Massepunkt bewegt sich nicht. Wirkt jedoch auf den mitbewegten Massepunkt die Zwangskraft nicht, so spürt er nur die Scheinkraft.


Definition V.5: Die der Zentripetalkraft entgegengerichtete Scheinkraft ist die einzige Kraft, die ein mitbewegter Beobachter spürt, auf den die Zwangskraft nicht wirkt: Zentrifugalkraft .


V.2.2 Versuche zur Fliehkraft

Die bekanntere der beiden oben eingeführten Kräfte ist wohl die Scheinkraft: die Zentrifugalkraft. Das liegt mitunter daran, daß oft bei Kreisbewegungen, z.B. in Fahrzeugen, die Zwangskraft nicht direkt auf den eigenen Körper wirkt, wohl aber die Zentrifugalkraft. Ein Beispiel hierfür ist die Kurvenfahrt eines Autos, bei der man aus der Kurve raus, also vom Mittelpunkt des Kreises weg, eine Kraft verspürt. Berechnen wir die wirkende Kraft auf den Fahrer, der mit 120 km/h in eine Kurve mit dem Radius r = 10 m fährt und dabei auf die Hälfte der Geschwindigkeit, also auf 60 km/h abbremst.

Die Winkelgeschwindigkeit beträgt
,

die Radialbeschleunigung
.

Mit den oben genannten Werten erfährt der Fahrer eine Beschleunigung von 27,8 m/s2 , das entspricht ungefähr 3g, also der dreifachen Erdbeschleunigung.


Versuch V.3: Das "Säge"-Blatt:

Bei diesem Versuch wird ein rundes Blatt Papier über eine in der Mitte befestigte Achse einer Bohrmaschine schnell in eine Kreisbewegung versetzt. Somit bewegt sich jeder einzelne Punkt des Papiers mit einer Winkelgeschwindigkeit. Quadratisch mit dieser Winkelgeschwindigkeit steigt die Beschleunigung an, welche die Punkte des Papiers erfahren. Diese Beschleunigung hat eine stabilisierende Kraft zur Folge. Diese Kraft ist bei entsprechender Wahl der Antriebsgeschwindigkeit so groß, daß das Blatt ausreichend stabilisiert wird, um Holz zu zersägen.


Versuch V.4: Rollende Kette

Dasselbe Prinzip kann man nutzen, um eine Metallkette in eine Kreisform zu bringen und zu stabilisieren. Hierfür wird eine Scheibe über eine Bohrmaschine angetrieben. Auf die Scheibe ist eine Metallkette gespannt. Nachdem die Kette schnell genug angetrieben wurde, kann sie von der Scheibe gelöst werden. Sie rollt nun durch die Radialkraft stabilisiert tangentiell los. Die Energie der Kette reicht, um bei Anstoßen an ein Hindernis einige Meter weit und hoch zu fliegen.


Versuch V.5: Gleichgewichtspunkt zweier Wagen an einer Feder

Bei dieser Versuchsanordnung stehen sich zwei Wagen gegenüber auf einer Schiene, auf deren Mitte senkrecht ein Stab befestigt ist, an dessen Ende eine Feder über den Stab herab hängt. Über Umlenkrollen sind die Wagen an die Feder angehängt, sie erfahren also die Federrückstellkraft (Hook'sche Kraft ), die sie zum Mittelpunkt der Schiene hin beschleunigt. Die Schiene kann über eine vertikale Achse in gleichmäßige Rotation mit verstellbarer Winkelgeschwindigkeit versetzt werden. Auf die Wagen wirkt nun zusätzlich die Fliehkraft, welche die Wagen von der Achse weg beschleunigen. Bei einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit stellt sich ein Gleichgewicht ein, das unabhängig von der Entfernung x der Wagen von Mittelpunkt der Schienen ist. Diese Winkelgeschwindigkeit läßt sich leicht berechnen:

Die entgegengesetzt wirkenden Kräfte
=

müssen betragsmäßig gleich groß sein, damit die resultierende Kraft null ist und der Körper sich in Ruhe befindet. Mit den bekannten Formeln für die Hook'sche Kraft

und die Fliehkraft

und dem Radius r der Kreisbahn
r = x

gleich der Auslenkung der Feder über die Umlenkrolle folgt

Dr .

Diese Gleichung ist unabhängig von der Auslenkung r, was der Versuch auch zeigte. Umformulieren nach w liefert den Ausdruck für die Winkelgeschwindigkeit, bei der das Gleichgewicht eintritt:
.


Versuch V.6: Fliehkraftregler

Der Fliehkraftregler besteht aus zwei schweren Kugeln, die über eine Achse in Rotation versetzt werden können. Die Kugeln hängen an Stangen der Länge l, die an der angetriebenen Achse fest montiert sind. Zwei weitere Stangen der Länge s sind so mit der Achse verbunden, daß sie sich auf und ab bewegen lassen, wobei sie an den Kugeln festsitzen. In Rotation versetzt heben sich die Kugeln und damit das untere Gestänge bis zu einer bestimmten Höhe, bei der ein mit den Kugeln verbundener Leiter sich so weit nach oben bewegt, daß er den Kontakt zu seinem Stromkreis verliert und ihn somit durchtrennt. In diesem Stromkreis hängt auch der Antrieb der Achse, so daß die Kugeln nicht mehr rotieren und sinken. Der Kontakt ist wieder hergestellt und die Kugeln heben sich wieder. Die ausgestellten Stangen bilden mit der Achse den Winkel a , die Kugeln seien den Abstand r von der Achse entfernt..

Im Gleichgewicht übt die Stange auf die Kugel eine Zwangskraft aus, die betragsmäßig der vertikalen Komponente des resultierenden Kraftvektors aus der Gewichtskraft und der Fliehkraft entsprechen muß. Die geometrische Betrachtung der wirkenden Kraftkomponenten zeigt, daß für den Ausstellwinkel a die Beziehung gilt:

.


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