IV.6: Stoßgesetze



   VI.6.1 Elastischer Stoß

Versuch IV.3: Grader, zentraler, elastischer Stoß auf der Luftkissenbahn

Versuch IV.4: 'Astro - Blaster'

   VI.6.2 Dynamik von Stößen

Versuch IV.5: Grader, zentraler, unelastischer Stoß auf der Luftkissenbahn

Versuch IV.6: Ballistisches Pendel

   VI.6.3 Schiefer Stoß

Versuch IV.7: Schiefer Stoß zweier Kugeln



Mit den beiden erarbeiteten Erhaltungssätzen

Energieerhaltung:

W = WK + WP = constant

Impulserhaltung :

= constant

kann man mit Kenntnis der Anfangszustände die Bewegungsgleichungen von Körpern berechnen, die gegeneinander stoßen. Dieses Verfahren ist z.B. in der Kernphysik unerläßlich. Hier erstellte man durch eine scheinbare Verletzung des Energie- und Impulssatzes die Hypothese, daß bei e+ e- - Stößen ein weiters Teilchen, das sogenannte Lepton t erzeugt wird.


Wir wollen in dieser Vorlesung jedoch nur einfache Modelle betrachten: den zentralen elastischen und unelastischen Stoß, den schiefen Stoß und die Dynamik von Stößen.




IV.6.1 Elastischer Stoß


zurück zum Kopf der Seite

Bei elastischen Stößen werden die stoßenden Körper weder unelastisch verformt noch erwärmt, die Reibung sei vernachlässigbar. Das bedeutet, daß nur mechanische Energie umgesetzt wird, es gilt folglich der Energieerhaltungssatz und der Impulserhaltungssatz.


Versuch IV.3: grader, zentraler, elastischer Stoß auf der Luftkissenbahn

Dieser Versuch wird auf der Luftkissenbahn durchgeführt. Zwei Reiter der Massen m1 und m2 werden mit den Geschwindigkeiten und aufeinander zu bewegt. Nach dem Stoß werden die Geschwindigkeiten ' und 'der Reiter gemessen.


Betrachten wir die beiden Erhaltungssätze:


Energieerhaltung :

Die potentielle Energie ist konstant, wir definieren sie als

WP = 0.


Energie vor dem Stoß

W = WK1 + WK2

ÛW =

Energie nach dem Stoß:

W' = WK1' + WK2'

ÛW'=v1'2 + v2'2

Energieerhaltung :

= v1'2 + v2'2

Û= ¬


Impuls vor dem Stoß:

Û

Impuls nach dem Stoß:

Û

Impulserhaltung:

=

Û = ­


Aus

¬ und ­

folgt:


Dieses Ergebnis in den Impulssatz eingesetzt ergibt die


Bewegungsgleichungen für den graden, zentralen, elastischen Stoß:

Betrachten wir fünf Spezialfälle:

1) Der zweite Reiter ruht vor dem Stoß:

Þ ,


2) Der zweite Reiter ruht vor dem Stoß:

und die Massen der Reiter sind gleich:

m1 = m2

Þ ,


3) Reflexion am festen Ende:

m2 = ¥ ,

Þ ,


4) Der zweite Reiter ruht vor dem Stoß:

und die Massen der Reiter sind:

m2 = m1

Þ , Þ ,


5) Der zweite Reiter ruht vor dem Stoß:

und die Massen der Reiter sind:

m2 = 2 m1

Þ , Þ ,



Versuch IV.4: 'Astro - Blaster'

Bei diesem Versuch werden zwei Gummibälle verschiedener Massen auf den Boden fallen gelassen. Zunächst springen beide Bälle auf die Ausgangshöhe zurück. Ein geringer Energieverlust durch Reibung und Wärme ist nicht ganz auszuschließen, kann in der Rechnung aber vernachlässigt werden. Nun werden die beiden Bälle lose auf eine Stange gesteckt und gemeinsam fallen gelassen, der kleinere Ball ist dabei oben. Das Ergebnis ist verblüffend: Der kleinere Ball springt bis an die Decke des Raumes zurück. Die Rechnung liefert die Steighöhe genau:

Die Bälle deren Masse m1 und m2 mit m1 < m2 fallen mit derselben Geschwindigkeit zu Boden. Dabei setzen wir die Geschwindigkeit beim Fall negativ, also (rauf) = -(runter). Wenn der Ball 2 bereits umgekehrt ist und mit rauf fliegt, fällt der Ball 1 noch mit - hinab. Es ergibt sich eine elastische Reflexion des Balls 1 an Ball 2 mit entgegengesetzt gleicher Geschwindigkeit . In die Formeln

eingesetzt, folgt für den Betrag der Geschwindigkeit des Balls 1:

Setzen wir als Näherung m1 << m2 folgt

.

Der Ball fliegt also mit dreifacher Geschwindigkeit rauf. Da die Strecke quadratisch mit der Geschwindigkeit verläuft, fliegt er folglich neun mal so hoch.



IV.6.2 Dynamik von Stößen

zurück zum Kopf der Seite

Bisher haben wir nur die Bewegung vor und nach dem Stoß berechnet, die Dynamik des Stoßes selbst haben wir unbeachtet gelassen. In der Einleitung des Kapitels haben wir als Beispiel einen Ball betrachtet, der auf der Erde verformt wird und dadurch zurückprallt. Wir wissen jetzt, wie schnell er zurückprallt und könnten daraus auch die Höhe berechnen, jetzt wollen wir die Kraft zu jeder Zeit der Bewegung betrachten:

Da die Erde oder eine Wand bereits einen Spezialfall mit m2 = ¥ , darstellen, betrachten wir wieder den Stoß zweier Kugeln.



Die Verformung bewirkt eine Rückstellkraft, die nach dem 2. Newtonsche Axiom wechselseitig ist:

Mit dem 2. Newtonschen Axiom


gilt

Û


Die Änderung des Impulses über eine Zeitspanne von ta nach te kann also durch Integration errechnet werden. Man nennt dieses Integral über die Kraft Kraftstoß:


Definition IV.8: Der Kraftstoß ist die Änderung des Impulses:

Diese Definition verletzt die Impulserhaltung nicht, denn wegen des 3. Newtonschen Axioms

gilt:

Û


Merke: Während des Stoßes ändern sich die Einzelimpulse in komplizierter Weise, der Gesamtimpuls bleibt jedoch zu jedem Zeitpunkt erhalten.

Generell unterscheidet man auch bei der Dynamik von Stößen zwischen zwei verschiedenen Arten:

Beim elastischen Stoß ist die wirkende Rüchstellkraft elastisch und hängt analog zur Feder nur vom Relativabstand der beiden Kugelmittelpunkte ab. Wie in Versuch VI.3 bereits angewandt gilt die Energieerhaltung :


Merke: Bei elastischen Stößen ist die Rückstellkraft konservativ, es gilt die Energieerhaltung der Mechanik

Beim unelastischen Stoß ist die Rückstellkraft nicht konservativ; sie hängt z.B. bei Reibung von der Geschwindigkeit oder bei unelastischer Verformung von der Vorgeschichte ab. Der Energiesatz gilt folglich nur unter Einbeziehen anderer, nichtmechanischer Energieformen wie Wärme oder Gitterverformung. Im Allgemeinen ist D W > 0, bei exothermen Reaktionen ist jedoch auch D W < 0 möglich.

Auch für nichtkonsevative Kräfte gilt immer die Impulserhaltung:

Û Û Û const.


Merke: Bei unelastischen Stößen ist die Rückstellkraft nicht konservativ, die Energieerhaltung der Mechanik gilt nicht: WK (vorher) = WK (nachher) + D W, es gilt die Impulserhaltung: const.

Versuch IV.5: grader, zentraler, unelastischer Stoß auf der Luftkissenbahn



Für diesen Versuch wird derselbe Aufbau wie in Versuch IV.3 genutzt. Diesmal wird jedoch an beiden Reitern ein Knetgummi befestigt, so daß beide Reiter nach einem Zusammenstoß fest zusammen bleiben. Quantitativ untersucht werden wieder Stöße mit verschiedenen Massen und Geschwindigkeiten. Berechnen wollen wir den Fall, daß der zweite Reiter der Masse m2 ruht wenn der erste Reiter der Masse m1 mit einer konstanten Geschwindigkeit auftrifft.


Als Randbedingung ist also gegeben: . Beim unelastischen Stoß gilt die Energieerhaltung nicht, wohl aber die Impulserhaltung:


Impuls vor dem Stoß:

Û


Impuls nach dem Stoß:

Û


Impulserhaltung:
=


Nach dem Stoß müssen die beiden vereinten Massen mit derselben Geschwindigkeit weiterfahren, also gilt

.


Die Gesamtmasse der vereinten Reiter beträgt m1 + m2.

Aus der Impulserhaltung
=

folgt:
=

Þ v'=
.

Für den Sonderfall zweier Reiter mit derselben Masse m1 = m2 gilt dann:

.


Betrachten wir jetzt den Verlust an mechanischer Energie D W:

W (vorher) = W' (nachher) + D W


Energie vor dem Stoß:
W = W1 + W2

mit

Û W =


Energie nach dem Stoß:
W' =

Û W' =


Energieverlust:
D W = W - W'

Û D W = W -

Û D W =


Merke: Nach einem unelastischen, zentralen Stoß eines gradlinig gleichförmig bewegten Körpers mit einem ruhenden, haben beide die Geschwindigkeit v'=. Der Verlust an mechanischer Energie beträgt

D W = .


Betrachtet man den Stoß der Reiters der Masse m1 an einer festen Wand, also m2 ® ¥ , dann kann in der Formel D W = die Masse m1 gegenüber m2 vernachlässigt werden, und es gilt:
D W = W.


Ein Beispiel hierfür ist ein PKW der Masse m = 1000 kg, der mit einer Geschwindigkeit von

v1 = 120 km/h frontal gegen eine feste Wand fährt. Die kinetische Energie des Wagens beträgt

W =

Þ W =

Û W =


Diese Energie wird komplett in nichtmechanische Energie umgewandelt. Die Leistung dieses Aufpralls, der D t = 1/10 s dauern soll, berechnet sich nach Definition IV.6 als Quotient aus geleisteter Arbeit und der dafür benötigten Zeit:

P =

Þ P »



Versuch IV.6: Ballistisches Pendel

Bei diesem Versuch soll die Geschwindigkeit eines Geschosses aus einem Gewehr berechnet werden. Hierzu schießt man eine Gewehrkugel der Masse m aus einigen Metern Entfernung auf eine Kiste der Masse M. Diese Kiste ist an einem Seil frei schwingend aufgehängt und befindet sich vor dem Einschuß in Ruhe. Trifft das Geschoß die Kiste, so wird diese beschleunigt und schwingt aus. Dabei verschiebt sie einen Markierungsstift, der nach Rückschwingen der Kiste stehen bleibt und so die maximale Auslenkung a der Kiste anzeigt.

Zur Berechnung muß dieser Vorgang in zwei Teile unterteilt werden: Die Zeit vom Abschuß bis zum Einschlagen des Geschosses in die Kiste, und die Zeit vom Einschuß bis zur maximalen Auslenkung des Kistenpendels.


1) Die Zeit vom Abschuß bis zum Einschlagen des Geschosses in die Kiste:

Dieser Teil der Bewegung entspricht einem unelastischen Stoß der Massen m und M, wobei m sich mit bewegt, während M ruht. Es gilt also die Impulserhaltung, nicht aber die Energieerhaltung. Nach dem Stoß bewegen sich die vereinten Massen mit :

Impulserhaltung :

Impuls vor dem Stoß:

Û

Impuls nach dem Stoß:

Û

Mit dem Ergebnis von Versuch IV. :
v = ¬


2) Die Zeit vom Einschuß bis zur maximalen Auslenkung des Kistenpendels:

Die Kiste mit dem Geschoß ( Masse m + M ) hat zur Zeit des Einschusses die maximale Geschwindigkeit v, also maximale kinetische Energie WK. Er hängt auf der Höhe h = 0, hat also keine potentielle Energie WP = 0. Wenn die schwingende Kiste auf dem höchsten Punkt angekommen ist, also die Höhe h hat, dreht sie um, ihre Geschwindigkeit ist in diesem Punkt null. Sie hat maximale potentielle Energie, aber ihre kinetische Energie ist null. Die Energieerhaltung sagt uns, daß die Summe der Energie in jedem Punkt gleich ist.

Energie zur Zeit des Einschusses: WP = 0, WK =

mit W1 = WP + WK
Þ W1 =

mit ¬ : v =
Þ W1 =


Energie auf höchstem Punkt

WP = (m + M)gh, WK = 0

mit W2 = WP + WK
Þ W2 = (m + M)gh


Energieerhaltung

W1 = W2

Þ = (m + M)gh

Û = gh

Diese Gleichung beschreibt die Abhängigkeit der Höhe h, auf die die Kiste schwingt, und der Geschwindigkeit vG des Geschosses. In unserem Versuch wurde statt der Höhe h die Strecke a gemessen. Über die geometrische Beziehung kann bei Kenntnis der Pendellänge l die Höhe berechnet werden.



IV.6.3 Schiefer Stoß

zurück zum Kopf der Seite

Der elastische schiefe Stoß ist der allgemeine Fall des elastischen Stoßes. In der Regel kann man nicht exakt festlegen, ob die Schwerpunkte der stoßenden Körper auf einer Graden liegen. Deshalb muß man beim schiefen Stoß den Abstand der Graden, auf denen die Schwerpunkte verlaufen, betrachten. Dieser Abstand wird Stoßparameter b genannt. Beim elastischen Stoß gelten, wie besprochen, Energie- und Impulserhaltungssatz.


Versuch IV.7: schiefer Stoß zweier Kugeln


Bei diesem Versuch wird analog zu Versuch IV.2 eine Kugel von einer Höhe h einer Bahn rollen gelassen. Diesmal liegt am horizontalen Ende der Bahn eine zusätzliche Kugel. Diese ruht auf einer Mikrometerschraube und kann so in der Höhe D h' variiert werden. Dadurch trifft die rollende Kugel die ruhende nicht zentral, sondern um einige Mikrometer versetzt.


Die Höhe D h' entspricht dem oben eingeführten Stoßparameter b.

Analog zum elastischen Stoß gilt die Energieerhaltung :


Energie vor dem Stoß:
W = WK1 + WK2 mit v2 = 0

Û W =

Energie nach dem Stoß:
W' = WK1' + WK2'

Û W' = v1'2 + v2'2

Energieerhaltung :
= v1'2 + v2'2

mit m1 = m2 = m
Þ ¬


Impuls vor dem Stoß:

mit = 0

Û

Impuls nach dem Stoß:

Û

Impulserhaltung:
=

mit m1 = m2 = m

Þ ­

Aus ¬ und ­ folgt wegen des Kosinussatzes, daß der eingeschlossene Winkel der Geschwindigkeitsvektoren ein rechter Winkel sein muß. Es entsteht beim Auftragen der Geschwindigkeitsvektoren also immer ein rechtwinkliges Dreieck. Die Ecken dieses Dreiecks liegen nach dem Satz des Thales immer auf einem Kreis. Dieser Kreis hat den Durchmesser des ursprüngliches Geschwindigkeitsvektors.

Der Versuch zeigt, daß die Kugeln immer auf demselben Kreis landen, solange die Geschwindigkeit der Kugel, also ihre Abrollhöhe, nicht variiert wird. Wo genau auf dem Kreis sie landen, hängt vom Stoßparameter b ab. Die Untersuchung der Streuwahrscheinlichkeit ließe auf das Kraftgesetz schließen. Dies wird in der Kernphysik oft genutzt, um Rückschlüsse über Kernkräfte zu erhalten.




vorheriges Kapitel

vorherige Seite

Inhaltsverzeichnis

folgende Seite

folgendes Kapitel