IV.1 Der Begriff der Arbeit



   VI.1.1 Definition der Arbeit

Versuch IV.1: Arbeit längs eines graden Weges

   VI.1.2 Erweiterung auf variable Kräfte und beliebige Wege

   VI.1.3 Beschleunigungsarbeit

   VI.1.4 Hubarbeit

   VI.1.5 Spannarbeit




IV.1.1 Definition der Arbeit


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Der Begriff der Arbeit ist schon aus dem täglichen Sprachgebrauch bekannt. Will man Massen bewegen, so muß man dafür Arbeit verrichten. Genauer ausgedrückt heißt das in der Physik, daß bei der Bewegung von Massen die Kräfte Arbeit verrichten müssen.. Betrachten wir einen einfachen Fall der Bewegung von Massen:



Versuch IV.1: Arbeit längs eines graden Weges:

Ein schwerer Körper wird an einem Seil befestigt und längs eines graden Weges längs gezogen. Um ein Maß für die Kraft zu haben, kann man z.B. eine Federwaage an einem Ende des Seils befestigen. Jetzt kann man mit verschiedenen Winkeln zur Erdoberfläche an dem Seil ziehen, um den Körper zu bewegen. Als Grenzfälle soll dabei einmal parallel zum Boden und senkrecht dazu gezogen werden. Das Seil gibt in diesen zweidimensionalen Fall die Richtung der wirkenden Kraft an.

Nun soll der Körper mit konstanter Kraft einen festen Weg s gezogen werden. Der Versuch zeigt, daß man bei einem Winkel von 0°, also parallel zur Erde gezogen, am wenigsten Kraft braucht. Je größer der Winkel wird, desto mehr ausgeübte Kraft zeigt die Federwaage an. Bei einem Winkel von 90° hebt man den Körper nur hoch und bewegt ihn gar nicht in s-Richtung. Es zeigt sich, daß nur die Kraftkomponente entlang des Weges für die Fortbewegung des Körpers wirksam ist.

Das Produkt aus wirksamer Kraft und Weg nennt man Arbeit.


Definition IV.1: Arbeit ist das Produkt aus der Kraft längs eines Weges und dem zurückgelegten Weg.

W = F · s · cos a


Einheitenbetrachtung:

[F · s] = [F] · [s] = 1N · 1m = Nm. Die zusammengesetzte Einheit Nm wird mit Joule, als Einheitszeichen J bezeichnet. Aus der Definition von Newton folgt auch: 1J = 1 kg m2 s-2. Im früher üblichen csg-System wird die Einheit der Arbeit mit erg bezeichnet, wobei 1 erg = 10-7 J ist.


Notation VI.1: Die Arbeit wird mit W bezeichnet. Die Einheit der Arbeit ist das Joule: [W] = J.




IV.1.2. Erweiterung auf variable Kräfte und beliebige Wege


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Die in Definition IV.I gegebene Formel für die Arbeit ist ein skalares Produkt. Aus der Geometrie ist bekannt, daß das Produkt zweier Skalare gleich dem Inhalt des Rechtecks ist, das mit den Seitenlängen der beiden Skalare aufgespannt werden kann. Im Koordinatensystem eingezeichnet bedeutet das, daß die Fläche unter den Kraft - Weg - Diagramm ein Maß für die verrichtete Arbeit ist. (Mit Kraft ist hier natürlich die Kraft längs des Weges gemeint.)

Betrachten wir dieses Arbeitsdiagramm mit einer veränderlichen Kraft längst eines graden Weges. Da mit Kraft hier nur die Kraftkomponente längs des Weges gemeint ist, kann jetzt sowohl der Betrag der Kraft variieren, als auch seine Richtung. In diesem Fall kann die Arbeit als Fläche unter der Kurve der Kraft verstanden werden. Eine solche Fläche berechnet man mit einem Integral.

Es gilt dann

oder für eine beliebige gerade Strecke, die nicht im Nullpunkt beginnen muß: .


Nehmen wir jetzt noch an, daß die Strecke nicht längs einer Graden, sondern beliebig im Raum verlaufen kann. Dann gilt die Definition IV.1 nur für unendlich kleine Wegelemente, in denen die Strecke als gradlinig angenommen werden kann. Die Arbeit muß über diese kleinen Wegelemente summiert werden.

Für kleine Wegelemente gilt also,

mit der Definition des Vektors aus Kapitel I folgt .

Summiert über alle Teilstücke folgt:


Definition IV.2: Arbeit mit variabler Kraft längs eines beliebigen Weges:





Die Arbeit WAB längs eines Teilstückes von Punkt A nach Punkt B entspricht also dem Teil unter der Kurve der Kraftkomponente FS, das durch die Senkrechten auf die beiden Begrenzungspunkte konstruiert wird.












IV.1.3 Beschleunigungsarbeit


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Bei der Herleitung des Arbeitsbegriffs hatten wir die Geschwindigkeit der Bewegung vernachlässigt, wir haben also eine quasistationäre Bewegung betrachtet. Die Definition der Kraft als Ursprung jeder Beschleunigung legt uns aber nahe, diese Vernachlässigung genauer zu untersuchen. Ich kann eine Kiste auch so ziehen, daß sie möglichst schnell wird. Was folgt dann aus der Definition der Bewegung ?

Die Kraft, die eine Bewegung verursacht, dient in diesem Fall der Beschleunigung des Körpers der Masse m. Eine solche Kraft läßt sich mit dem 2. Newtonschen Axiom immer schreiben als . Setzen wir diese Definition der Kraft in die Formel

¬ ein
,

dann folgt:

mit

folgt

.

Nun schreiben wir

mit

Û

mit

folgt

mit

gilt

­


Die Beschleunigungsarbeit hängt also nur von der Masse m des beschleunigten Körpers und von Anfangs- und Endgeschwindigkeit ab. Auch die Richtung und der Weg, auf dem die Beschleunigungsarbeit erfolgt, ist irrelevant für den Wert der geleisteten Beschleunigungsarbeit.

Aus ¬ und ­ folgt:


Merke: Die Beschleunigungsarbeit, die eine Kraft verrichtet, wenn sie einen Körper der Masse m von v1 auf v2 beschleunigt ist

Eine genauere Interpretation der Beschleunigungsarbeit wird in Kapitel IV.3 vorgenommen.




IV.1.4 Hubarbeit


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Eine andere Form der Arbeit, die geleistet werden kann, ist das Heben von Körpern gegen die Gewichtskraft. In einem Gedankenexperiment werde ein Körper der Masse m auf einem beliebigen Weg von einer Höhe h1 auf eine größere Höhe h2 gehoben. Dabei sei h positiv definiert bei einer Aufwärtsbewegung. Dieser Vorgang soll jetzt möglichst langsam, also ohne Beschleunigung durchgeführt werden.


Die äußere Kraft, die aufzuwenden ist, ist die Gegenkraft zur am Körper nach unten wirkenden Gewichtskraft:

.

Für die Arbeit gilt

mit Definition IV.2 .

Die Arbeit wird nur mit dem Teil der Kraft geleistet, die in Richtung der Bewegung zeigt, also nur mit der Komponente Fa cos a .

Es folgt .

Mit gilt

Û

mit G = - mg

Die Hubarbeit ist also ebenfalls unabhängig vom Weg, auf dem die Höhe erreicht wird. Sie ist nur abhängig von der Masse des gehobenen Körpers und der absoluten Höhendifferenz D h.


Merke: Die Hubarbeit ist unabhängig vom Weg gleich dem Produkt aus Masse, Erdbeschleunigung und Höhendifferenz: .

Die Arbeit, die gegen die Gewichtskraft geleistet werden muß, ist nur von den Endpunkten abhängig. Dies ist eine Eigenschaft der Gewichtskraft und einiger anderer Kräfte,. Diese Kräfte werden zusammengenommen und mit dem Begriff konservative Kräfte bezeichnet. Aus der Überlegung, daß die Arbeit von Punkt A nach Punkt B nur von der Höhendifferenz D h, und ebenfalls vom Punkt B nach A nur von der Höhendifferenz -D h abhängt, folgt direkt, daß die Arbeit von einem beliebigen Punkt A über einen beliebigen Weg zurück nach Punkt A null sein muß. Man bezeichnet die Integration über einen geschlossenen Weg als Ringintergral.


Notation IV.2: Integrale über geschlossene Wege werden Ringinterale genannt: .




Definition IV.3: Kräfte, bei denen die dagegen zu leistende Arbeit nur von Anfang- und Endpunkt der Bewegung abhängt, heißen konservative Kräfte: .



IV.1.5 Spannarbeit


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Aus der Erfahrung ist bekannt, daß die Kraft, die man benötigt, um eine Feder auszulenken, mit wachsender Auslenkung konstant steigt. Also ist , bzw. F ~ x. Die Proportionalitätskonstante ist z.B. abhängig vom Material der Feder oder der Anzahl der Windungen. Sie ist also eine Materialkonstante und wird mit unterschiedlich mit k oder D bezeichnet.


Notation IV.3: Die Federkonstante wird mit D bezeichnet.

Dieses empirische Ergebnis wird im Hookschen Gesetz formuliert:


Hooksches Gesetz: Die Kraft zur Auslenkung einer Feder um die Strecke x aus der Ruhelage beträgt: .

Die Hook'sche Kraft ist ebenfalls eine konservative Kraft.

Die Arbeit läßt sich dann mit

berechnen als

Û +const.

mit const = 0

Û

Insbesodere gilt für die Auslenkung x aus der Ruhelage

.


Merke: Die Spannarbeit einer Feder beträgt: .

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