Physikalische Größen, z.B. die im ersten Kapitel eingeführte Länge L = {L} · [L] heißen Skalare, wenn sie durch nur eine Meßgröße gekennzeichnet sind. Weitere Beispiele sind Temperatur, Masse oder Zeit. Es gibt jedoch noch viele andere Größen in der Physik, die zusätzlich durch eine Richtung im Raum beschrieben werden müssen. Diese Größen werden am besten durch Vektoren beschrieben. Bekannte Beispiele sind hier Geschwindigkeit, Kraft oder Verschiebungen.

Als einfachstes Beispiel sei eine Verschiebung dargestellt von Punkt P₁ nach Punkt P₂:

Dargestellt wird die Verschiebung durch einen Pfeil :

Die Richtung des Pfeils gibt die Richtung der Verschiebung an, die Länge des Pfeils den Betrag.

Notation II.1: Den Betrag eines Vektors schreibt man alsoder vereinfacht als a

Führt man zwei Verschiebungen von Punkt P₁ über Punkt P₂ nach Punkt P₃ aus, so kann man die Vektoren addieren. Vektorgrößen in der Physik lassen sich nach den gleichen Regeln addieren wie eine Verschiebung.

Die Richtung der addierten Vektoren ergibt sich aus

Für die Vektoraddition gilt das Kommutativgesetz, es gilt also:

Der Betrag des resultierenden Vektors läßt sich mit Hilfe des Cosinussatzes berechnen:

c² = a² + b² +2ab cosa

Als Spezialfall ergibt sich a = 90° und damit

c² = a² + b² +2ab cos90°

Û c² = a² + b²

Die Vektorsubtraktion wird analog zur Vektoraddition durchgeführt, indem zuvor der zu subtrahierende Vektor mit negativem Vorzeichen versehen wird. Der Betrag ändert sich dann von a in - a, die Richtung dreht sich um 180° .

Drei oder mehr Vektoren werden addiert, indem man zunächst zwei Vektoren addiert und den resultierenden Vektor zu dem dritten Vektor erneut addiert, und so fort.

In einem Bezugssystem, wir wollen uns hier zunächst auf rechtwinklige karthesische Koordinatensysteme beschränken, kann ein Vektor als Summe der einzelnen Komponenten längs der das System aufspannenden Achsen geschrieben werden.

Hierzu definiert man Einheitsvektoren längs der Achsen. Die Einheitsvektoren haben den Betrag 1 und stehen jeweils senkrecht aufeinander.

Definition II.1: Einheitsvektor

Jeder dreidimensionale Vektor kann in diesem System dann dargestellt werden in der Form

=

Notation II.2: Ein Vektor wird mit = (ax ,ay , az ) komponentenweise geschrieben.

Merke: Die Länge eines Vektors in Komponentenschreibweise läßt sich berechnen aus:

In Koordinatenschreibweise werden Vektoren komponentenweise addiert oder subtrahiert.

Die Addition von zwei Vektoren ergibt dabei wieder einen Vektor.

mit

c_x = a_x + b_x ,

c_y = a_y + b_y

c_z = a_z + b_z

Beim Wechsel des Koordinatensystems ändern sich die Komponenten a_i , b_i , c_i , nicht aber die Lage der Vektoren , und im Raum.

Das Punkt- oder Skalar-Produkt zweier Vektoren ist ein Skalar. Man kann es entweder aus den Komponenten oder aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel berechnen.

Merke:     ist ein Skalar

= a₁b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃

Betrachten wir wieder den Sonderfall , dann folgt:

oder mit = (a,0,0) und = (0,b,0):

= a× 0 + 0× b + 0× 0 = 0

Das Vektor- bzw. Kreuzpodukt zweier Vektoren ist ebenfalls ein Vektor. Dieser Vektor   steht senkrecht auf Vektor   und    .

Notation II.3: Das Vektor- bzw. Kreuzprodukt schreibt man als

Der Betrag des Kreuzproduktes wird ebenfalls aus den Beträgen der einzelnen Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel berechnet.

Um die Richtung des Vektors zu ermitteln, müssen die Vektoren komponentenweise wie folgt berechnet werden:

= (a_yb_z - a_zb_y) + (a_zb_x - a_xb_z) + (a_xb_y - a_yb_x)

Merke: ist ein Vektor, der auf den beiden Vektoren und senkrecht steht:^ , .

Wie aus der Analysis bekannt, wird bei der Differentation der Grenzwert des Intervalls zwischen zwei Punkten, hier z.B. Ortsvektoren, gegen Null gebildet.

++

Die Umkehrung der Differentation ist die Integration:

Auch hier gilt: