V.6 Gravitationsfeld und Gravitationspotential




Nachdem wir nun die Gravitationskraft zweier Körper aufeinander berechnen können, wollen wir versuchen, dem Körper eine Art Eigenschaft zuzuordnen, die seine Gravitationskraft auf jeden beliebigen anderen Körper beschreibt.


V.6.1 Energiebetrachtung

Dazu betrachten wir zunächst wieder eine Masse M, die auf eine andere Masse m eine Gravitationskraft ausübt. Gegen diese Kraft soll eine beliebige äußere Kraft geleistet werden, z.B. durch Ziehen an einem an der Masse befestigten Seil. Zunächst befinden sich die beiden Kräfte im Gleichgewicht, die Masse m ruhe also.

Vergrößern wir jetzt die äußere Kraft, oder ändern wir deren Richtung, dann bewegt sich die Masse m im Gravitationsfeld von M . Dabei leistet die Kraft Arbeit. Nach der allgemeinen Definition für Arbeit IV.2 kann man diese Arbeit angeben mit:

.




Wo bleibt nun diese in das System gesteckte Energie?

In Kapitel IV, Definition IV.3, hatten wir gesehen, daß dW ganz in potentielle Energie umgewandelt wird, wenn die wirkenden Kräfte konservativ sind. Konservative Kräfte waren Kräfte, bei denen die dagegen zu leistende Arbeit nur von Anfangs- und Endpunkt der Bewegung abhängt, für die also gilt:

.

Wenn es sich bei der Gravitationskraft also um eine konservative Kraft handelt, so ließe sich die Frage beantworten. Untersuchen wir also die Gravitationskraft auf dieses Kriterium:

Die Formel

bedeutete für die Arbeit zwischen zwei Punkten A und B

ist wegunabhängig.

Mit
Þ =

Mit *
Û =

Û =


* Die Betrachtung der Polarkoordinaten

r und r zeigt:


Dieser Ausdruck für die Arbeit ist nur abhängig von den Abständen der Punkte A und B, nicht vom durchlaufenen Weg und auch nicht vom absoluten Abstand zur Masse M.

Für konservative Kräfte können wir nun eine potentielle Energie definieren. Die potentielle Energie ist dabei definiert als die Energiedifferenz, welche die Probemasse in den Punkten A und B hat.
Þ

Û .

Da nur Potentialdifferenzen meßbar sind, muß auch in diesem Fall eine Konvention getroffen werden, die den Nullpunkt festlegt. Bei die Gravitation legt man den Nullpunkt unendlich weit von der Masse M entfernt fest:
.

Die Konvention hat den Vorteil, daß die Formel

wesentlich vereinfacht wird:
Þ .

Für beliebige
Þ .


Merke: Die potentielle Energie, die die Gravitationskraft zwischen zwei Körpern der Massen M und m erzeugt, beträgt:

Vernachlässigen wir jetzt wieder die nichtmechanischen Energieformen, dann läßt sich die Gesamtenergie berechnen aus

Û .

Zur Vereinfachung berechnen wir diese Energien für eine Kreisbahn, die m um M beschreibt. Annähernd kann diese Bahn z.B. als Planetenbahn um die Sonne angesehen werden. Die Masse m bewegt sich nicht von M weg, ihr Abstand r sei konstant. Dann müssen Fliehkraft und Gravitationskraft entgegengesetzt gleich groß sein.

Im Gleichgewicht gilt also
.

Unter Berücksichtigung der Vorzeichen gilt auch

FZ + F = 0.

Mit
und

Þ .

Für
Þ .

Ein Vergleich mit den Energieformen
und

zeigt, daß gilt:
,

Û .

Þ .

Damit läßt sich die Gesamtenergie berechnen als:


Merke: Die Gesamtenergie einer Kreisbewegung durch Gravitationskraft beträgt:. Die Gesamtenergie ist negativ.

Wie aus Kapitel IV bekannt gilt die Energieerhaltung, d.h., daß diese Energie zu jeder Zeit konstant ist, während die einzelnen Energien WP und WK ausgetauscht werden.

Qualitativ ist dieses Ergebnis einsichtig: Ist die Gesamtenergie negativ, so bewegt die Masse m sich auf einer geschlossenen Bahn, ist die Gesamtenergie jedoch positiv, sind die Bahnen offen.

W < 0 à geschlossene Bahnen: Ellipsen oder Kreise

W = 0 à Grenzfall: Parabel

W > 0 à offene Bahnen: Hyperbeln.

Die genaue Berechnung dieses Sachverhaltes wird in der Theorie vorgenommen, hier soll die Vorführung einer Computersimulation als Anschauung ausreichen.

















Versuch V.8: Bewegung einer Kugel in einer flachen Schale

Die verschiedenen Bewegungsmöglichkeiten können simuliert werden, indem man eine flache Schale wählt, in der eine Kugel möglichst reibungsfrei rollen kann. Je nach 'Einwurf' kann man kreisende oder elliptische Bewegungen erwirken. Ist die Energie groß genug, so rollt die Kugel geradeaus aus der Schale heraus. Ist die Energie jedoch nur grade groß genug, verläßt die Kugel die Schale unter Beschreibung einer Parabelbahn.

V.6.2 Zusammenhang potentielle Energie und Kraft

Im letzten Kapitel haben wir die beiden Formeln

und
benutzt.

Faßt man diese Formeln zusammen, so gilt die Beziehung

.

Þ

Kann man nun mit Hilfe dieser Beziehung von der potentiellen Energie auf die wirkende Kraft zurückrechnen ? Das Problem ist nicht so trivial, da die potentielle Energie ein Skalar, die Kraft hingegen ein Vektor ist. Man steht also vor der Aufgabe, von einer nicht gerichteten Größe auf eine gerichtete zurück schließen zu müssen.

Rein formal kann man zunächst versuchen, durch Dividieren mit dr einen Ausdruck für die Kraft zu erlangen:
.

Untersuchen wir nun anhand zweier uns bekannter Kraftgesetze, diese Gleichung zu verifizieren. Dazu wählen wir zunächst Kräfte, die in einer Dimension berechnet werden können:

1. Schwerkraft:

Die potentielle Energie ist gegeben durch
.

Þ

Das so ermittelte Kraftgesetz lautet
.

Dieses Gesetz entspricht dem uns bekannten Gesetz der Schwerkraft.


2. Gravitation

Die potentielle Energie ist gegeben durch
.

Þ

Das so ermittelte Kraftgesetz lautet
.

Auch dieses Gesetz entspricht dem uns bekannten Gesetz der Gravitation.


Untersuchen wir jetzt die Verallgemeinerung für drei Dimensionen:

Gesucht wird ein Ausdruck für die Kraft , der die Gleichung

erfüllt.

Diese Gleichung wird erfüllt durch

Diesen Vektor nennt man partielle Ableitung von WP. Partielle Ableitung heißt dabei nichts anderes, als daß der zu differenzierende Ausdruck f(x,y,z) nach der angegebenen Variablen abgeleitet wird, während die anderen beiden als Konstante behandelt werden. Beispielsweise heißt , daß die Funktion f abgeleitet wird, als sei sie eine Funktion f(x) und y und z seien Konstante. Die Schreibweise statt d wird verwandt, um die partielle Differentation zu verdeutlichen.


Definition V.9: Die Operation wird partielle Differentation genannt. Den Operator schreibt man 'grad' oder ''(Nabla).

Nun muß noch bewiesen werden, daß die so definierte Gleichung

F = - grad WP

die Ausgangsgleichung
erfüllt.

Es muß also gelten

dWP .


NNotation V.2: Die Ableitung wird totales Differential genannt.


Anschaulich kann man sich die Vektoren anhand der Höhenlinien auf einer Landkarte vorstellen:

Ein Berg wird mit den sogenannten Höhenlinien eingezeichnet, also mit Linien, die alle Punkte derselben Höhe verbinden. Diese Linien sind Äquipotentiallinien. Der Gradient zeigt jetzt in Richtung der Falllinie, also in Richtung der wirkenden Kraft.


Merke: Der negative Gradient beschreibt anschaulich die Richtung und Stärke des größten Gefälles in einem Potentialgebirge.

V.6.3 Gravitationsfeldstärke und Gravitationspotential

Eine Probemasse m werde in der Umgebung der Masse m verschoben. In den letzten beiden Kapiteln haben wir eine Formel für die potentielle Energie in jedem Punkt berechnet. Damit können wir nun die potentielle Energie bestimmen, die der Körper der Masse m im Gravitationsfeld der Masse M besitzt. Greifen wir nun die Anfangsfrage auf: Wie kann man unabhängig von der Probemasse m eine 'Eigenschaft' der Masse M, bzw. des Raumes um die Masse M bestimmen, welche die Wirkung auf eine beliebige (gedachte) Probemasse beschreibt ?

Die Antwort ergibt sich aus der Formel
.

Wenn eine Größe gesucht wird, die von m unabhängig ist, muß dieser Ausdruck nur durch m geteilt werden. Diese Formel gibt dann eine Eigenschaft an, die nur von M und dem Abstand von M abhängt.
.

Dieser Ausdruck wird Gravitationspotential genannt.


Definition V.10: Das Gravitationspotential einer Masse M ist definiert als Quotient der potentielle Energie einer Probemasse im Abstand r und der Probemasse selbst. Gravitationspotential

Analog zu dieser Definition soll jetzt noch der Kraftbegriff übertragen werden:

In Anlehnung an die Formel

definiert man die Formel
.

Û

Û

Dieser Ausdruck wird Gravitationsfeldstärke genannt.


Definition V.11: Die Gravitationsfeldstärke gibt die Kraft auf einen Probekörper an geteilt durch seine Masse..

Die Größen undsind vom Probekörper unabhängig.


Diese Abbildung zeigt Äquipotentiallinien, hier als gestrichelte Linien gezeichnet, und Kraftfeldlinien, als Pfeile gekennzeichnet, des Gravitationsfeldes einer Masse (Abbildung V.36a) und des Erde-Mond-Systems (Abbildung V.36b). Die Kraftfeldlinien zeigen in Richtung des Potentialgefälles. Die Dichte der Kraftlinien ist proportional zur Feldstärke. Die Abbildungen sind dreidimensional vorzustellen.


V.6.4 Zusammenfassung der neu eingeführten Begriffe

Kraft

 

potentielle Energie WP

 

· m ­ ¯ ·

 

Feldstärke

 

Potential V


Abschließend wollen wir noch anschaulich die Feldstärke einer Vollkugel, z.B. der Erde betrachten. In einer Entfernung vom Mittel-punkt der Kugel, die größer ist als deren Radius, also außerhalb der Kugel, verhält sich das Feld wie das einer Punktmasse im Mittel-punkt der Kugel. In der Kugel selbst fällt die Feldstärke jedoch linear mit der zunehmenden Nähe zum Mittelpunkt ab. Im Mittelpunkt selbst wirkt schließlich keine Kraft auf einen Probekörper.


Nun noch ein Nachtrag zur Gravitation aus der Allgemeinen Relativitätstheorie:

Einstein erhob in seinen Theorien Naturphänomene zum Prinzip und versuchte damit, die Natur zu berechnen.

In der Speziellen Relativitätstheorie erhob er die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit zum Prinzip und schloß daraus weitgehende Folgerungen.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie betrachtete Einstein die Gleichheit von träger und schwerer Masse als Prinzip. Für einen Beobachter folgt laut Einstein aus dieser Tatsache, daß er nicht unterscheiden kann, ob er sich in einem konstanten Schwerefeld oder in einem Bezugssystem mit konstanter Beschleunigung befindet.

Diese Überlegung kann an einem Gedankenexperiment verdeutlicht werden:

Zwei Astronauten, die nicht aus ihrem Raumschiff schauen können, führen je ein Experiment durch: Der erste Astronaut läßt eine Kugel fallen, der andere steht auf einer Waage. Die beiden beobachten dieselbe Bewegung ob sie auf einem Planeten stehen oder im gravitationsfreien Raum beschleunigt fliegen.


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